二分和牛顿法实现开根号

二分法:

二分的思想很直观，就不断做折半，但这里注意需要设置一个精度来替代0，由于开根号并不一定保证能够开方取尽。这里取limit = 0.00002。

牛顿法：

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。

过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

根据牛顿迭代的原理，可以得到以下的迭代公式：X(n+1)=[X(n)+p/Xn]/2

 https://blog.csdn.net/leviopku/article/details/82811478

代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<deque>
#include<string>
#define limit 0.0002
using namespace std;

// 二分法
double my_sqrt(double n)
{
    double start = 0;
    double end = n;
    double mid = (start+end)/2;
    while(mid*mid>n+limit || mid*mid<n-limit)
    {
        mid = (start+end)/2;
        if(mid*mid>n)
            end = mid-1;
        else
            start = mid+1;
    }
    return mid;
}

// 牛顿法
double new_sqrt(double n)
{
    double k = n;
    while(1)
    {
        if(k*k<n+limit && k*k>n-limit)
        {
            break;
        }
        k = 0.5*(k+n/k);
    }
    return k;
}
int main(){
    double a = 81;
    cout<<my_sqrt(a)<<endl;
    cout<<new_sqrt(a)<<endl;
    return 0;
}