Miller Rabin算法学习笔记

(Miller Rabin)算法学习笔记

(Miller Rabin)是一种快速的随机化的素数测定方法。

它基于以下定理

二次探测定理：若(x^2equiv1pmod p),则(xequiv±1pmod p)

证明大概就是((x-1)(x+1)equiv0pmod p)

然后我们选取一个底(a),设你当前要判断的数为(x)

初始我们判断(a^{x-1})是否为(1)，不是判定(x)为合数

然后判断(a^{frac {x-1}2})是否为(1)或(p-1)，不是判定(x)为合数

如此反复，直到指数是奇数或余数为(p-1)为止。

于是此时我们就认为(x)通过了基于(a)为底的测试。

一次测试错误率大概是(frac 14)

多次测试的错误率一般认为是(frac 1{4^x})的，可以接受。

代码就直接模拟就可以了。

(upd:)我们可以优化一下，从后往前检测，如果其中有一个通过了二次探测，就判定(x)是质数。

优化后代码：

/*bool Test(ll a,ll x)
{
	if(a>=x)return 1;
	ll ret=qpow(a,x-1,x),s=x^1;
	while(ret==1&&!(s&1))s>>=1,ret=qpow(a,s,x);
	return ret==1||ret==(x^1);
}*/
bool Test(ll a,ll x)
{
	if(a>=x)return 1;
	ll ret,s=x^1;
	int p=__builtin_ctzll(s);
	ret=qpow(a,s>>p,x);
	if(ret==1||ret==(x^1))return 1;
	while(p--&&ret!=(x^1))ret=mul(ret,ret,x);
	return p>=0;
}
int lst[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23};
bool Miller_Rabin(ll x)
{
	if(x==1)return 0;
	if(x==2)return 1;
	if(x&1)
	{
		for(int i=0;i<9;++i)if(!Test(lst[i],x))return 0;
		return 1;
	}
	return 0;
}

(2st upd:)在一般是选(2,3,7,61,24251)为基底，此时在(1e16)内只有(46856248255981)是强伪素数。