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  • 二分图博弈

    二分图博弈

    简单的模型:

    二分图分为(A,B)两个部分。

    初始节点(S)(A)中,每次可以沿着边移动。

    先手希望停在(B),后手希望停在(A)

    定理

    先手必胜当且仅当任何一个最大匹配方案都包含初始状态

    证明

    充分:先手每次可以走一条匹配边过去,后手只能走非匹配边回来,而因为不存在增广路,先手一定又可以走匹配边过去。最终一定停在(B)

    必要:如果某个最大匹配方案不包含(S),则对面的节点一定总在最大匹配中,否则就可以连一条边。然后你走过去之后就对方变为先手,根据先前的充分性证明,则对方必定胜利。

    判定

    方法一:删除这个节点,跑一遍最大匹配。如果答案没变就是不必要的。

    方法二:从初始节点(dfs),如果能找到同侧的非匹配点就可以一路替换,那就是不必要的,( ext{vice versa})

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/LLCSBlog/p/13882635.html
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