【数论四大定理】

威尔逊定理、欧拉定理、孙子定理、费马小定理并称数论四大定理。

【威尔逊定理】 当且仅当p为素数时：( p-1 )! ≡ -1(mod p)；

 即：如果p为合数，( p-1 )! mod p 答案为0；如果p为素数，那么由威尔逊定理可得( p-1 )! mod p的答案为n−1;

【欧拉定理（费马-欧拉定理）】 若n, a为正整数，且n, a互质，则:a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

        欧拉函数φ(n) 表示与 n互素且不超过n的正整数的个数；

【费马小定理(Fermat Theory)】 若a是整数，p是质数，且a, p互质(即gcd(a, p) = 1)，那么a^(p-1) ≡ 1 (mod p);

【孙子定理（中国剩余定理）】设正整数m₁,m₂,...,m_k两两互质，则同余方程组

有整数解。并且在模M(M = m₁·m₂·... ·m_k)下的解是唯一的，解为

其中M_i = M/mi，而M_i^-1为M_i模m_i的逆元。

Tips: 逆元，也称数论倒数，若a,b互为逆元，则满足a·b ≡ 1(mod n)；

普通的中国剩余定理要求所有的m_i互质，那么如果不互质呢，该如何求解同余方程组？

这种情况就采用两两合并的思想，假设要合并如下两个方程

      

那么得到

       

在利用扩展欧几里得算法解出x₁的最小正整数解，再带入

       

得到x后合并为一个方程的结果为

       

这样一直合并下去，最终可以求得同余方程组的解。

(摘自ACdreamers)