【摘自】：华山大师兄，推荐他的过程动画~
定义
Dijkstra算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）
算法描述
1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
算法步骤
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
实例
对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。
模板
1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdlib> 4 #include <cstdio> 5 #include <queue> 6 #include <vector> 7 #include <algorithm> 8 using namespace std; 9 const int MAX_V = 505; 10 const int inf = 0x3f3f3f3f; 11 12 typedef pair<int, int> pii; 13 struct Dijkstra //封装dijkstra算法 14 { 15 struct Edge //定义边的结构体 16 { 17 int from, to, cost; 18 Edge() {} 19 Edge(int a, int b, int c) : from(a), to(b), cost(c) {} 20 }; 21 int n, m; 22 vector<Edge> G[MAX_V]; //边集合 23 bool vis[MAX_V]; 24 int d[MAX_V]; 25 int prev[MAX_V]; 26 void init(int n) //初始化，清空邻接表和边集合 27 { 28 this->n = n; 29 for(int i = 0; i <= n; i++) 30 { 31 G[i].clear(); 32 } 33 } 34 void add(int from, int to, int dist) //建图 35 { 36 G[from].push_back(Edge(from,to,dist)); 37 } 38 void dijkstra(int s) 39 { 40 priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii> > q; 41 memset(d, inf, sizeof(d)); 42 memset(prev, -1, sizeof(prev)); 43 d[s] = 0; 44 q.push(pii(0, s)); 45 46 while(!q.empty()) 47 { 48 pii p = q.top(); q.pop(); 49 int v = p.second; 50 if(d[v] < p.first) continue; 51 for(int i = 0; i < G[v].size(); i++) 52 { 53 Edge e = G[v][i]; 54 if(d[e.to] > d[e.from]+e.cost) 55 { 56 d[e.to] = d[e.from]+e.cost; 57 q.push(pii(d[e.to], e.to)); 58 prev[e.to] = e.from; 59 } 60 } 61 } 62 } 63 vector<int> Get_Path(int t) 64 { 65 vector<int> path; 66 for(; t != -1; t = prev[t]) 67 path.push_back(t); 68 reverse(path.begin(), path.end()); 69 return path; 70 } 71 } D; 72 73 74 int main() 75 { 76 int T; 77 scanf("%d", &T); 78 for(int kase = 1; kase <= T; kase++) 79 { 80 int V, E; 81 scanf("%d%d", &V, &E); 82 D.init(V); 83 for(int i = 0; i < E; i++) 84 { 85 int u, v, w; 86 scanf("%d%d%d", &u, &v, &w); 87 D.add(u, v, w); D.add(v, u, w); 88 } 89 int t; scanf("%d", &t); 90 D.dijkstra(t); 91 printf("Case %d: ", kase); 92 vector<int> path = D.Get_Path(0); 93 94 for(int i = 0; i < V; i++) 95 { 96 if(D.d[i] >= inf) 97 printf("Impossible "); 98 else 99 printf("%d ", D.d[i]); 100 } 101 } 102 return 0; 103 }
STL priority_queue实现：复杂度O（|E|·log|V|）
1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdlib> 4 #include <cstdio> 5 #include <queue> 6 #include <vector> 7 #include <algorithm> 8 using namespace std; 9 const int MAX_V = 505; 10 const int inf = 0x3f3f3f3f; 11 int d[MAX_V]; 12 int used[MAX_V]; 13 int cost[MAX_V][MAX_V]; 14 int prev[MAX_V]; 15 int V, E; 16 17 void Dijkstra(int s) //Source is the source,M is the number of point; 18 { 19 memset(used, 0, sizeof(used)); 20 memset(prev, -1, sizeof(prev)); 21 memset(d, inf, sizeof(d)); 22 d[s] = 0; 23 24 while(true) 25 { 26 int v = -1; 27 for(int u = 0; u < V; u++) 28 { 29 if(!used[u] && (v == -1 || d[u] < d[v])) v = u; 30 } 31 if(v == -1) break; 32 used[v] = true; 33 for(int u = 0; u < V; u++) 34 { 35 int tmp = max(d[u], cost[v][u]); 36 d[u] = max(d[u], cost[v][u]); 37 prev[u] = v; 38 } 39 } 40 } 41 42 vector<int> Get_Path(int t) 43 { 44 vector<int> path; 45 for(; t != -1; t = prev[t]) 46 path.push_back(t); 47 reverse(path.begin(), path.end()); 48 return path; 49 }
邻接矩阵实现：复杂度O（|V|2）