ACM__01背包，完全背包，多重背包

今天写题的时候碰到了一道完全背包题，可是没有看出来，乱写了一通，浪费了一个晚上，顺便复习一下背包的知识

01背包

每种物品只能选择一次或者不选，求背包容量内的最大价值

先给出状态转移方程:

f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);

解释一下：f[i][j]表示的是前i个物品中，背包容量为j时，得到的最大价值；如果在容量为j时选择不放第i个物品，那么f[i][j]=f[i-1][j],f[i-1][j]表示前一个物品在容量j时的状态值；如果在容量为j时选择放第i个物品，那么f[i][j]=f[i-1][j-w[i]]+v[i]，f[i-1][j-w[i]]+v[i]表示前一个物品得到的状态加上第i个物品的价值；自然而然，f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);

下面是二维数组的代码，自己敲了一遍，加深印象

#include<cstdio>
int main()
{
    int n,m,v[105],w[105],f[105][105];
    scanf("%d %d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d %d",&v[i],&w[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(w[i]<=j)
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);
            else
                f[i][j]=f[i-1][j];
        }
    }
    printf("%d",f[n][m]);
    return 0;
}

还有一种是一维数组的方法，更能节省空间

#include<cstdio>
int main()
{
    int n,m,v[105],w[105],f[105];
    scanf("%d %d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d %d",&v[i],&w[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=1;j--)
        {
            if(w[i]<=j)
            f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    printf("%d",f[m]);
    return 0;
}

里面第二个循环为什么要倒着来，遍历到第i个物品时，f[j]应该与第i-1个物品的状态比较，如果顺着来的话，f[j]则与第i个物品的状态进行了比较，这样会出事的；

完全背包

每种物品可以选无数次，求背包容量内的最大价值

状态转移方程为：f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);

贴上代码：

#include<cstdio>
int main()
{
    int n,m,v[105],w[105],f[105];
    scanf("%d %d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d %d",&v[i],&w[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=w[i];j<=m;j++)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    printf("%d",f[m]);
    return 0;
}

多重背包

每种物品能取有限次，求背包容量内的最大值

多重背包问题化作01背包问题解决，如果价值为v的物品有x个，则化成x个价值为v的物品；

#include<cstdio>
int main()
{
    int n,m,v[105],w[105],f[105];
    scanf("%d %d",&m,&n);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        scanf("%d %d",&v[i],&w[i],&num[i]);
    int k=n+1;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        for(int j=1; j<num[i]; j++)
        {
            v[k]=v[i];
            w[k]=w[i];
            k++;
        }
    }
    for(int i=1; i<k; i++)
    {
        for(int j=m; j>=1; j--)
        {
            if(w[i]<=j)
                f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    printf("%d",f[m]);
    return 0;
}

　　再贴上今天折腾了一晚上的题：http://acm.sdibt.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?id=2340

把数组改为全局变量竟然就A了，问了老谭，说这是，没有清零的原因，脑瓜子疼！