P3648 [APIO2014]序列分割

传送门

首先容易证明，得分和切的顺序没有关系

所以直接默认先切左边再切右边就好了

然后显然可以 $dp$

一开始想的是设 $f[i][j]$ 表示切了 $i$ 次，此次把 $j$ 和 $j+1$ 分开，得到的最大价值

那么显然枚举上一次切的位置 $k$ ，那么 $f[i][j]=f[i-1][k]+(sum[j]-sum[k])(sum[n]-sum[j])$

这个东西是可以斜率优化+滚动数组，但是很不好写，一堆边界问题要想，代码就不放了（亲自尝试发现甚至会爆$long long$）

另一个好的思路：设 $f[i][j]$ 表示已经切了 $i$ 次，只考虑前面 $j$ 块的最大价值

同样枚举 $k$，$f[i][j]=f[i-1][k]+(sum[i]-sum[j])*sum[j]$

这样式子就好化了：$f[i][j]=f[i-1][k]+sum[i]sum[j]-sum[j]^2$

　　　　　　　　：$-sum[i]sum[j]+f[i][j]=f[i-1][k]-sum[j]^2$

那么 $k=-sum[i],x=sum[j],b=f[i][j],y=f[i-1][k]-sum[j]^2$

发现 $k,x$ 都单调，所以直接斜率优化就好了，同样要滚动数组

注意原序列可能有 $0$，那么 $x$ 就不是单调上升而是单调不增，求斜率时要注意特判 $x$ 相同的情况！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ldb;
inline int read()
{
    register int x=0,f=1; static char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=1e5+7;
int n,m;
ll sum[N],f[2][N];
inline ll X(int x) { return sum[x]; }
inline ll Y(int x) { return f[1][x]-sum[x]*sum[x]; }
inline ldb slope(int i,int j)
{
    if(X(i)==X(j)) return Y(i)>Y(j) ? -1e18 : 1e18;
    return (ldb)(Y(i)-Y(j))/(X(i)-X(j));
}
int Q[N],l,r;
int main()
{
    n=read(); m=read();
    register int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+read();
    for(j=1;j<=m;j++)
    {
        l=r=1;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            while(l<r && -sum[i]<=slope(Q[l],Q[l+1]) ) l++;
            int &k=Q[l];
            f[0][i]=f[1][k]+(sum[i]-sum[k])*sum[k];
            while(l<r && slope(Q[r-1],Q[r]) <= slope(Q[r],i) ) r--;
            Q[++r]=i;
        }
        swap(f[0],f[1]);
    }
    printf("%lld
",f[1][n]);
    return 0;
}