Codeforces 1216F. Wi-Fi

传送门

这个题一眼 $dp$

就是设 $f[i][0/1]$ 表示我们只考虑前 $i$ 个位置，并且保证覆盖了前 $i$ 个位置，当前位置 选/不选 的最小代价

考虑转移，设题目给出的字符串为 $s$

首先 $f[i][0]$ 必须从 $f[j][1]$ 转移过来，其中 $ j+k>=i ext{ and } s[j]=1$

然后考虑 $f[i][1]$，如果 $s[i]=1$，那么我们可以从 $f[j][0]$ 和 $f[j][1]$ 转移

并且只要保证 $i-k<=j+1$ 即可，就是保证让 $i$ 覆盖 $j+1$ 到 $i$ 这一段

然后如果 $s[i]=0$，那么我们首先可以从 $f[i-1][0/1]$ 转移

并且也可以从 $f[j][1]$ 转移，其中 $j$ 满足 $j+k>=i-1 ext{ and } s[j]=1$

注意这里的边界条件是 $j+k>=i-1$ 不是 $j+k>=i$，因为上一个站覆盖到 $i-1$ 就行了，$i$ 位置自己覆盖了

然后发现这个 $dp$ 转移暴力复杂度是 $n^2$ 的，但是可以发现对于某个位置 $i$ 的转移

对于 $f[i][0]$ ，我们要求一个区间内 $f[j][1]$ 的最小值，并且 $s[j]=1$

对于 $f[i][1]$ ，我们要求一个区间内 $f[j][0/1]$ 的最小值

所以维护两颗线段树，分别维护区间内 $f[j][1]$ 的最小值 和 区间内 $f[j][0/1]$ 的最小值

复杂度 $n log n$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=2e5+7;
const ll INF=1e18;
int n,K;
ll f[N][2];
char s[N];
struct SegTree {
    ll T[N<<2];
    SegTree () { memset(T,0x3f,sizeof(T)); }
    inline void pushup(int o) { T[o]=min(T[o<<1],T[o<<1|1]); }
    void ins(int o,int l,int r,int pos,ll v)
    {
        if(l==r) { T[o]=min(T[o],v); return; }
        int mid=l+r>>1;
        pos<=mid ? ins(o<<1,l,mid,pos,v) : ins(o<<1|1,mid+1,r,pos,v);
        pushup(o);
    }
    ll query(int o,int l,int r,int ql,int qr)
    {
        if(l>qr||r<ql) return INF;
        if(l>=ql&&r<=qr) return T[o];
        int mid=l+r>>1; return min(query(o<<1,l,mid,ql,qr),query(o<<1|1,mid+1,r,ql,qr));
    }
}T1,T2;
int main()
{
    n=read(),K=read(); scanf("%s",s+2);
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[1][1]=f[1][0]=0; T2.ins(1,1,n,1,0);
    for(int i=2;i<=n+1;i++)
    {
        f[i][0]=T1.query(1,1,n,max(1,i-K),i-1);
        if(s[i]=='1') f[i][1]=T2.query(1,1,n,max(1,i-K-1),i-1)+i-1;
        else f[i][1]=min( T1.query(1,1,n,max(1,i-K-1),i-1) , min(f[i-1][0],f[i-1][1]) )+i-1;
        T2.ins(1,1,n,i,f[i][1]); T2.ins(1,1,n,i,f[i][0]);
        if(s[i]=='1') T1.ins(1,1,n,i,f[i][1]);
    }
    printf("%lld
",min(f[n+1][0],f[n+1][1]));
    return 0;
}

这一题其实观察题目的性质，选择位置 $i$ 的代价为 $i$，也就是说代价随着位置增加

发现到这里有单调性，考虑利用单调性 $dp$

直接设 $f[i]$ 表示把 $1$ 到 $i$ 覆盖的最小代价

然后预处理出 $g[i]$ 表示从 $i$ 位置往右的第一个 $1$ 的位置

$g$ 的预处理显然，考虑 $f[i]$ 怎么转移

首先我们可以选择 $i$ 位置，那么转移显然

然后考虑 $i$ 本身不选，选择一个位置 $j$ ，使得 $j$ 能够覆盖 $i$

显然我们考虑选择的位置为 $g[i-k]$ （这里先不考虑 $i-k<1$ 的情况）

意思就是说，选择位置 $i-k$ 往右的第一个 $1$ 位置（也就是最左边能够覆盖 $i$ 的 $1$）

我们设这个位置为 $c$，考虑选择位置 $c$ 的最小花费，因为 $f$ 单调不减，最小花费即为 $f[c-k-1]+c$

发现其实我们直接贪心地选择位置 $c$ 一定比选择 $c$ 后面的某个 $1$ 更优

因为考虑后面位置代价，首先选后面本身位置的代价就比选 $c$ 大，其次选后面的话，我们最优的 $f$ 也会变大

所以后面的一定不如位置 $c$，我们直接选择位置 $c$ 转移即可

代码来自：LMOliver

（提醒一下，这个毒瘤的不知道是谁的大佬的代码本机要把 $ifdef$ 去掉不然本机 $WA$，提交 $AC$，骗无知的我去 $hack$ $qwq$）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
//这里往下本地运行要去掉
#if (!defined(__cplusplus) || __cplusplus > 201103)
/**
 * Use scanner in c++14, c++17 or c++20!
 */
template<class T>
struct Scanner{
    int value;
    Scanner(){
        value=0;
        int ch;
        while(isdigit(ch=getchar())){
            value=value*10+(ch^'0');
        }
    }
};
Scanner<int> qaq;
#else
#endif
//这里往上本地运行要去掉
const int N=200200;
char s[N];
int f[N];
int n,k;
LL dp[N];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    scanf("%s",s+1);
    f[n+1]=n+n+n;
    for(int i=n;i>=1;i--){
        f[i]=s[i]=='1'?i:f[i+1];
    }
    dp[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dp[i]=dp[i-1]+i;
        int c=f[max(i-k,1)];
        if(c<=i+k){
            dp[i]=min(dp[i],dp[max(1,c-k)-1]+c);
        }
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
    return 0;
}