[洛谷P1131] ZJOI2007 时态同步

问题描述

小Q在电子工艺实习课上学习焊接电路板。一块电路板由若干个元件组成，我们不妨称之为节点，并将其用数
字1,2,3….进行标号。电路板的各个节点由若干不相交的导线相连接，且对于电路板的任何两个节点，都存在且仅
存在一条通路（通路指连接两个元件的导线序列）。在电路板上存在一个特殊的元件称为“激发器”。当激发器工
作后，产生一个激励电流，通过导线传向每一个它所连接的节点。而中间节点接收到激励电流后，得到信息，并将
该激励电流传向与它连接并且尚未接收到激励电流的节点。最终，激烈电流将到达一些“终止节点”——接收激励
电流之后不再转发的节点。激励电流在导线上的传播是需要花费时间的，对于每条边e，激励电流通过它需要的时
间为te，而节点接收到激励电流后的转发可以认为是在瞬间完成的。现在这块电路板要求每一个“终止节点”同时
得到激励电路——即保持时态同步。由于当前的构造并不符合时态同步的要求，故需要通过改变连接线的构造。目
前小Q有一个道具，使用一次该道具，可以使得激励电流通过某条连接导线的时间增加一个单位。请问小Q最少使用多少次道具才可使得所有的“终止节点”时态同步？

输入格式

第一行包含一个正整数N，表示电路板中节点的个数。第二行包含一个整数S，为该电路板的激发器的编号。接下来N-1行，每行三个整数a , b , t。表示该条导线连接节点a与节点b，且激励电流通过这条导线需要t个单位时间。

输出格式

仅包含一个整数V，为小Q最少使用的道具次数。

样例输入

3
1
1 2 1
1 3 3

样例输出

2

题解

从输入就可以看出，该题给定的图是一棵树。那么激发器可以看做是该树的根节点，终止节点可以看做是树的叶子节点。我们利用DFS框架实现树上DP。假设我们已经知道一个点的节点的所有子节点同时到达叶子节点所需要的时间，那么该点的电流同时到达叶子节点的时间就是所有子节点的最大值。既然确定了时间，那么需要增加的时间就是最大时间与每一个子节点的时间的差。此外，该点的父节点流过来的电流要同时到达叶子节点至少需要的时间就是流到该点的时间再加上该点需要的时间。以此类推，就可以知道从根节点出发所需要的时间了。

注意，在这种方法下需要在回溯前统计答案而不是在递归前(毕竟你要先知道子节点的时间)。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define N 500002
using namespace std;
long long head[N],ver[N*2],nxt[N*2],edge[N*2],l;
long long n,s,i,f[N],ans;
void insert(int x,int y,int z)
{
    l++;
    ver[l]=y;
    edge[l]=z;
    nxt[l]=head[x];
    head[x]=l;
}
void dfs(int x,int pre)
{
    int y;
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
        y=ver[i];
        if(y!=pre) dfs(y,x);
    }
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
        y=ver[i];
        if(y!=pre) f[x]=max(f[x],edge[i]);
    }
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
        y=ver[i];
        if(y!=pre) ans+=f[x]-edge[i];
    }
    for(int i=head[pre];i;i=nxt[i]){
        if(ver[i]==x){
            edge[i]+=f[x];
            break;
        }
    }
     
}
int main()
{
    cin>>n>>s;
    for(i=1;i<n;i++){
        int u,v,w;
        cin>>u>>v>>w;
        insert(u,v,w);
        insert(v,u,w);
    }
    dfs(s,0);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}