[BZOJ] 地精部落

问题描述

传说很久以前,大地上居住着一种神秘的生物:地精。
地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说,一座长度为 N 的山脉 H 可分 为从左到右的 N 段,每段有一个独一无二的高度 Hi,其中 Hi 是 1 到 N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高,则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉,其他都有两段(即左边和右边)。 类似地,如果一段山脉比所有它相邻的山脉都
低,则这段山脉是一个山谷。地精们有一个共同的爱好——饮酒,酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸,地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。地精还是一种非常警觉的生物,他们在每座山峰上都可以设立瞭望台,并轮 流担当瞭望工作,以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这 N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一,只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道,长度为 N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉 A 和 B 不同当且仅当存在一个 i,使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大,你只对它 除以 P 的余数感兴趣。

输入格式

仅含一行,两个正整数 N, P。

输出格式

仅含一行,一个非负整数,表示你所求的答案对 P 取余 之后的结果。

样例输入输出

Input
4 7
Output
3

数据范围

对于 20%的数据,满足 N≤10;
对于 40%的数据,满足 N≤18;
对于 70%的数据,满足 N≤550;
对于 100%的数据,满足 3≤N≤4200,P≤10 9

解析

题意即为求用n个数构成波动序列的方案数。

考虑波动序列有如下性质：

• 在一个波动数列中，若两个 i 与 i+1 不相邻，那么我们直接交换这两个数字就可以组成一个新的波动数列；
• 把波动数列中的每个数字Ai 变成 (N+1)-Ai 会得到另一个波动数列，且新数列的山峰与山谷情况相反；
• 波动序列有对称性。 比如：1 4 2 5 3 和 3 5 2 1 4

那么，根据这些性质，我们可以设如下状态：(f[i][j])表示用了1～i的数，第一项为j的方案数。由于性质2，第一项为山峰对称一下就可以得到第一项为山谷的方案，因此不妨设j为山峰，最后乘2即可。

下面讨论转移。由性质1，当j与j-1不相邻时，(f[i][j]=f[i][j-1])。当j-1与j相邻时，j-1只能为山谷且位于第2位。后面的取值范围是([1,j-1])和([j+1,i])。同理，第一位为山谷的方案数可以通过性质3由山峰的方案推出，接下来只需要处理值域有空缺的问题。其实我们关心的只是相对的高矮，将区间([j+1,i])整体减一并不影响答案。因此，相当于求用i-1个数0其中第j-1为第一位且为山谷的方案，为(f[i-1][(i-1+1)-(j-1)]=f[i-1][i-j+1])。状态转移方程如下：

[f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j+1] ]

最后答案为

[ans=sum_{i=1}^{n}f[n][i] ]

注意用滚动数组优化空间。初始值因为1不可能作为山峰，要从2开始。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 4202
using namespace std;
int n,p,i,j,f[2][N],x;
int main()
{
	cin>>n>>p;
	f[0][2]=1;
	for(i=3;i<=n;i++){
		for(j=2;j<=i;j++) f[x^1][j]=(f[x^1][j-1]+f[x][i-j+1])%p;
		x^=1;
	}
	int ans=0;
	for(i=2;i<=n;i++) ans=(ans+f[x][i])%p;
	cout<<ans*2%p<<endl;
	return 0;
}