[洛谷P5286] 一个简单的询问

问题描述

给你一个长度为 (N) 的序列 (a_i)，(1leq ileq N)，和 (q) 组询问，每组询问读入 (l_1,r_1,l_2,r_2)，需输出

(sumlimits_{x=0}^infty ext{get}(l_1,r_1,x) imes ext{get}(l_2,r_2,x))。

( ext{get}(l,r,x)) 表示计算区间 ([l,r]) 中，数字 (x) 出现了多少次。

输入格式

第一行，一个数字 (N)，表示序列长度。
第二行，(N) 个数字，表示 (a_1sim a_N)。
第三行，一个数字 (Q)，表示询问个数。
第 (4sim Q+3) 行，每行四个数字 (l_1,r_1,l_2,r_2)，表示询问。

输出格式

对于每组询问，输出一行一个数字，表示答案。

样例输入

5
1 1 1 1 1
2
1 2 3 4
1 1 4 4

样例输出

4
1

说明

对于 (20\%) 的数据，(1leq N,Qleq 1000)；
对于另外 (30\%) 的数据，(1leq a_ileq 50)；
对于 (100\%) 的数据，(N,Qleq 50000)，(1leq a_ileq N)，(1leq l_1leq r_1leq N)，(1leq l_2leq r_2leq N)。

数据范围与原题相同，但测试数据由 LibreOJ 自制，并非原数据。

注意：答案有可能超过 int 的最大值。

解析

区间问题往往可以想到前缀和。如果想用前缀和的形式表示这个式子，那么可以按照如下过程化简：

[egin{aligned} sum_{i=0}^{infty} get(l_1, r_1, x) imes get(l_2, r_2, x) = &sum_{i=0}^{infty} get(0, r_1, x) imes get(0, r_2, x)\ - &sum_{i=0}^{infty} get(0, l_1-1, x) imes get(0, r_2, x)\ - &sum_{i=0}^{infty} get(0, r_1, x) imes get(0, l_2-1, x) \ + &sum_{i=0}^{infty} get(0, l_1-1, x) imes get(0, l_2-1, x) end{aligned} ]

这样，我们就把一个询问拆成了4个可以用莫队维护的询问。对于每一个询问，维护 (num[0][x]) 表示在区间 ([1,l]) 中 (x) 出现了多少次，(num[1][x]) 表示区间 ([1,r]) 中 (x) 出现了多少次。那么答案就是 (sumlimits_{x=0}^infty num[0][x]*num[1][x]) 。至于修改操作，可以这么看：假设一个数原来是 (a*b) ，现在要把它变成 ((a+1)*b) ，其实就相当于在原来的基础上加上一个 (b) 。这里也是同理。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define int long long
#define N 50002
using namespace std;
struct query{
	int l,r,id;
}q[4*N];
int n,m,i,a[N],b[N],gap,cnt,num[2][N],sum,ans[4*N],l,r;
int read()
{
	char c=getchar();
	int w=0;
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c<='9'&&c>='0'){
		w=w*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return w;
}
int my_comp(const query &x,const query &y)
{
	if(b[x.l]==b[y.l]) return x.r<y.r;
	return x.l<y.l;
}
void add(int op,int x)
{
	num[op][a[x]]++;
	sum+=num[op^1][a[x]];
}
void del(int op,int x)
{
	num[op][a[x]]--;
	sum-=num[op^1][a[x]];
}
signed main()
{
	n=read();
	gap=sqrt(1.0*n);
	for(i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	for(i=1;i<=n;i++) b[i]=(i-1)/gap+1;
	m=read();
	for(i=1;i<=m;i++){
		int l1=read(),r1=read(),l2=read(),r2=read();
		q[++cnt]=(query){min(r1,r2),max(r1,r2),cnt};
		q[++cnt]=(query){min(r1,l2-1),max(r1,l2-1),cnt};
		q[++cnt]=(query){min(l1-1,r2),max(l1-1,r2),cnt};
		q[++cnt]=(query){min(l1-1,l2-1),max(l1-1,l2-1),cnt};
	}
	sort(q+1,q+cnt+1,my_comp);
	for(i=1;i<=cnt;i++){
		while(l<q[i].l) add(0,++l);
		while(l>q[i].l) del(0,l--);
		while(r<q[i].r) add(1,++r);
		while(r>q[i].r) del(1,r--);
		ans[q[i].id]=sum;
	}
	for(i=1;i<=cnt;i+=4) printf("%lld
",ans[i]-ans[i+1]-ans[i+2]+ans[i+3]);
	return 0;
}