问题描述
有n个岛屿， m座桥，每座桥连通两座岛屿，桥上会有一些敌人，玩家只有消灭了桥上的敌人才能通过，与此同时桥上的敌人会对玩家造成一定伤害。而且会有一个大Boss镇守一座桥，以玩家目前的能力，是不可能通过的。而Boss是邪恶的， Boss会镇守某一座使得玩家受到最多的伤害才能从岛屿1到达岛屿n(当然玩家会选择伤害最小的路径)。问， Boss可能镇守岛屿有哪些。
输入格式
第一行两个整数n; m
接下来m行，每行三个整数s; t; c，表示一座连接岛屿s和t的桥上的敌人会对玩家造成c的伤害。
输出格式
一行，两个整数d; cnt， d表示有Boss的情况下，玩家要受到的伤害， cnt表示Boss有可能镇守的桥的数目。
样例输入
3 4
1 2 1
1 2 2
2 3 1
2 3 2
样例输出
3 2
数据范围
30%的数据， 1 ≤ n ≤ 1000
100%的数据， 1 ≤ n ≤ 100000， 1 ≤ m ≤ 200000， 1 ≤ c ≤ 10000，数据保证玩家可以从岛屿1到达岛屿n
链接
解析
首先发现Boss占领的边一定在最短路上。先考虑最短路唯一的情况。考虑任意一条不在1到n的最短路上的边(u,v)，我们求1到n的路径中一定经过(u,v)的最短距离。这样的路径一定是从1出发，到达1到n的最短路径上的某一点后离开最短路（记该点为p），然后经过(u,v)，最后通过最短路上的某个点（记该点为q）回到最短路上，并最后到达n。可以发现，如果删除最短路上p到q之间的某一条边，1到n的最短路就有可能变成上面描述的路径。我们用一棵线段树维护区间最小值即可求出删除某一条边之后的新最短路长度。最后的答案就是线段树中的最大值，表示玩家最多消耗的血量。
接下来求p和q。建出原图的以1为根和以n为根的最短路树，不难发现，对于边(u,v)，p就是以1为根的最短路树上n与u的LCA，q就是以n为根的最短路树上1与v的LCA。
如果最短路不唯一，可以分两种情况：一种是所有最短路都经过某些边，此时可以任意取一条最短路，就转化为上面的情况了；如果不是，那么随便选哪一条边都可以，方案数为m。即：如果线段树中的所有值都等于1到n的最短路径长，说明任取一条边都可以；反之方案数就是线段树叶子节点中最大值的个数。
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define N 100002
#define M 200002
using namespace std;
const int inf=1<<30;
struct SegmentTree{
int dat,add;
}t[N*4];
struct Edge{
int u,v,w;
}e[M];
int head[N],ver[M*2],nxt[M*2],edge[M*2],id[M*2],l;
int n,m,i,pre[N],fa[N],size[N],son[N],top[N],dep[N],dis[2][N],r[2][N],a[M],num;
bool in[M];
int read()
{
char c=getchar();
int w=0;
while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
while(c<='9'&&c>='0'){
w=w*10+c-'0';
c=getchar();
}
return w;
}
void insert(int x,int y,int z,int w)
{
l++;
ver[l]=y;
edge[l]=z;
id[l]=w;
nxt[l]=head[x];
head[x]=l;
}
void Dijkstra(int p,int s)
{
priority_queue<pair<int,int> > q;
memset(dis[p],0x3f,sizeof(dis[p]));
q.push(make_pair(0,s));
dis[p][s]=0;
while(!q.empty()){
int x=q.top().second,d=-q.top().first;
q.pop();
if(dis[p][x]!=d) continue;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
if(dis[p][y]>dis[p][x]+edge[i]){
dis[p][y]=dis[p][x]+edge[i];
q.push(make_pair(-dis[p][y],y));
}
}
}
}
void dfs1(int x)
{
size[x]=1;son[x]=0;dep[x]=dep[fa[x]]+1;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
dfs1(y);
size[x]+=size[y];
if(size[y]>size[son[x]]) son[x]=y;
}
}
void dfs2(int x,int t)
{
top[x]=t;
if(son[x]) dfs2(son[x],t);
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
if(y!=son[x]) dfs2(y,y);
}
}
int LCA(int u,int v)
{
while(top[u]!=top[v]){
if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
u=fa[top[u]];
}
if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
return u;
}
void get(int p,int s,int t)
{
memset(fa,0,sizeof(fa));
memset(head,0,sizeof(head));l=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
int u=e[i].u,v=e[i].v,w=e[i].w;
if(dis[p][u]==dis[p][v]+w) fa[u]=v,pre[u]=i;
else if(dis[p][v]==dis[p][u]+w) fa[v]=u,pre[v]=i;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(fa[i]!=0) insert(fa[i],i,0,pre[i]);
}
dfs1(s);dfs2(s,s);
for(int i=1;i<=n;i++) r[p][i]=LCA(i,t);
if(p==0){
int x=n,cnt=n;
while(x!=1) a[x]=cnt--,in[pre[x]]=1,x=fa[x],num++;
a[1]=cnt;
}
}
void build(int p,int l,int r)
{
t[p].dat=t[p].add=inf;
if(l==r) return;
int mid=(l+r)/2;
build(p*2,l,mid);build(p*2+1,mid+1,r);
}
void spread(int p)
{
if(t[p].add!=inf){
t[p*2].dat=min(t[p*2].dat,t[p].add);
t[p*2+1].dat=min(t[p*2+1].dat,t[p].add);
t[p*2].add=min(t[p*2].add,t[p].add);
t[p*2+1].add=min(t[p*2+1].add,t[p].add);
t[p].add=inf;
}
}
void change(int p,int l,int r,int ql,int qr,int v)
{
if(ql>qr) return;
if(ql<=l&&r<=qr){
t[p].dat=min(t[p].dat,v);
t[p].add=min(t[p].add,v);
return;
}
int mid=(l+r)/2;
spread(p);
if(ql<=mid) change(p*2,l,mid,ql,qr,v);
if(qr>mid) change(p*2+1,mid+1,r,ql,qr,v);
t[p].dat=min(t[p*2].dat,t[p*2+1].dat);
}
int ask(int p,int l,int r,int x)
{
if(l==r) return t[p].dat;
int mid=(l+r)/2;
spread(p);
if(x<=mid) return ask(p*2,l,mid,x);
else return ask(p*2+1,mid+1,r,x);
}
int main()
{
n=read();m=read();
for(i=1;i<=m;i++){
e[i].u=read();e[i].v=read();e[i].w=read();
insert(e[i].u,e[i].v,e[i].w,0);
insert(e[i].v,e[i].u,e[i].w,0);
}
Dijkstra(0,1);Dijkstra(1,n);
get(0,1,n);get(1,n,1);
for(i=1;i<=n;i++) r[0][i]=a[r[0][i]],r[1][i]=a[r[1][i]];
build(1,1,n);
for(i=1;i<=m;i++){
if(in[i]) continue;
int u=e[i].u,v=e[i].v,w=e[i].w,d;
d=dis[0][u]+dis[1][v]+w;
change(1,1,n,r[0][u],r[1][v]-1,d);
d=dis[0][v]+dis[1][u]+w;
change(1,1,n,r[0][v],r[1][u]-1,d);
}
int ans=0,cnt=0;
for(i=1;i<=n;i++){
int tmp=ask(1,1,n,i);
if(tmp==inf) continue;
if(tmp>ans) ans=tmp,cnt=1;
else if(ans==tmp) cnt++;
}
if(ans==dis[0][n]&&cnt==num) cnt=m;
printf("%d %d
",ans,cnt);
return 0;
}