本文主要讲解的聚类算法有：k均值算法、均值漂移算法、凝聚层次算法、DBSCAN密度聚类算法，还介绍了聚类算法性能指标——轮廓系数。
聚类（cluster）与分类（class）不同，分类是有监督学习模型，聚类属于无监督学习模型。聚类讲究使用一些算法把样本划分为n个群落。一般情况下，这种算法都需要计算欧几里得距离。
$$P(x_1) - Q(x_2): |x_1-x_2| = sqrt{(x_1-x_2)^2} \
P(x_1,y_1) - Q(x_2,y_2): sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \
P(x_1,y_1,z_1) - Q(x_2,y_2,z_2): sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2} \$$
欧氏距离：用两个样本对应特征值之差的平方和的平方根，来表示这两个样本的相似性。
K均值算法
第一步：随机选择k个样本作为k个聚类的中心，计算每个样本到各个聚类中心的欧氏距离，将该样本分配到与之距离最近的聚类中心所在的类别中。
第二步：根据第一步所得到的聚类划分，分别计算每个聚类的几何中心，将几何中心作为新的聚类中心，重复第一步，直到计算所得几何中心与聚类中心重合或接近重合为止。
注意：
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聚类数$k$必须事先已知。借助某些评估指标(欧式距离)，优选最好的聚类数。
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聚类中心的初始选择会影响到最终聚类划分的结果。初始中心尽量选择距离较远的样本。
K均值算法相关API：
import sklearn.cluster as sc model = sc.KMeans(n_clusters=4) # n_clusters: 聚类数 # 训练模型，不断调整聚类中心，直到最终聚类中心稳定则聚类完成 model.fit(x) centers = model.cluster_centers_ # 获取训练结果的聚类中心 labels = model.labels_ # 每个样本的聚类的类别标签
案例：加载multiple3.txt数据集，基于K均值算法完成样本的聚类。
import numpy as np import sklearn.cluster as sc import matplotlib.pyplot as plt x = np.loadtxt('../machine_learning_date/multiple3.txt', delimiter=',') model = sc.KMeans(n_clusters=4) # 构建质心数量为4的聚类模型 model.fit(x) # 训练模型 pred_y = model.labels_ # 返回每个样本的聚类的类别标签: 0/1/2/3 centers = model.cluster_centers_ # 返回所有的聚类中心样本 print(centers) # 绘制分类边界线 n = 500 l, r = x[:, 0].min() - 1, x[:, 0].max() + 1 b, t = x[:, 1].min() - 1, x[:, 1].max() + 1 # 生成网格坐标矩阵 grid_x = np.meshgrid(np.linspace(l, r, n), np.linspace(b, t, n)) # 按列拼接数组 flat_x = np.column_stack((grid_x[0].ravel(), grid_x[1].ravel())) flat_y = model.predict(flat_x) grid_y = flat_y.reshape(grid_x[0].shape) plt.figure('K-Means Cluster', facecolor='lightgray') plt.title('K-Means Cluster', fontsize=14) plt.xlabel('x', fontsize=14) plt.ylabel('y', fontsize=14) plt.tick_params(labelsize=10) plt.pcolormesh(grid_x[0], grid_x[1], grid_y, cmap='gray') plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=pred_y, cmap='brg', s=80) plt.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1], c='red', marker='+', s=500) plt.show()
图像量化
K-Means聚类算法可以应用于图像量化领域。通过K-Means算法可以把一张图像所包含的颜色值进行聚类划分，求每一类别的平均值后再重新生成新的图像。可以达到图像降维的目的。这个过程称为图像量化。图像量化可以更好的保留图像的轮廓，降低机器识别图像轮廓的难度。
import sklearn.cluster as sc import matplotlib.pyplot as plt import scipy.misc as sm # 通过K均值聚类量化 图像中的"颜色" def quant(image, n_clusters): # x代表所有图片像素点的亮度值数组 x = image.reshape(-1, 1) model = sc.KMeans(n_clusters=n_clusters) model.fit(x) # 当n_clusters=2时，label含:0/1 # 当n_clusters=3时，label含:0/1/2 # 当n_clusters=4时，label含:0/1/2/3 y = model.labels_ # 获取聚类中心 [30, 70, 110, 190] centers = model.cluster_centers_.ravel() # 获取质心并变为一维数组 return centers[y].reshape(image.shape) # 读取灰度图 original = sm.imread('../machine_learning_date/lily.jpg', True) quant2 = quant(original, 2) quant3 = quant(original, 3) quant4 = quant(original, 4) plt.figure('Image Quant', facecolor='lightgray') plt.subplot(221) plt.title('Original', fontsize=14) plt.axis('off') plt.imshow(original, cmap='gray') plt.subplot(222) plt.title('Quant-2', fontsize=14) plt.axis('off') plt.imshow(quant2, cmap='gray') plt.subplot(223) plt.title('Quant-3', fontsize=14) plt.axis('off') plt.imshow(quant3, cmap='gray') plt.subplot(224) plt.title('Quant-4', fontsize=14) plt.axis('off') plt.imshow(quant4, cmap='gray') plt.tight_layout() plt.show()
均值漂移算法
假设在一个有N个样本点的特征空间，初始一个中心点，计算在设置的半径圆形空间内的所有点与中心点的向量，计算整个圆形空间内所有向量的平均值，得到一个偏移均值，将中心点移动到偏移值位置，重复移动，直到满足一定条件结束，最终移动的中心点就是聚类的中心，再根据每个样本距离各个中心的距离，选择最近聚类中心所属的类别作为该样本的类别。
均值漂移算法的特点：
- 聚类数不必事先已知，算法会自动识别出统计直方图的中心数量。
- 聚类中心不依据于最初假定，聚类划分的结果相对稳定。
- 样本空间应该服从某种概率分布规则，否则算法的准确性会大打折扣。
均值漂移算法相关API：
# n_samples：样本数量 # quantile：量化宽度 # 计算出半径（带宽） bw = sc.estimate_bandwidth(x, n_samples=len(x), quantile=0.1) # 均值漂移聚类器 model = sc.MeanShift(bandwidth=bw, bin_seeding=True) model.fit(x)
案例：加载multiple3.txt，使用均值漂移算法对样本完成聚类划分。
"""均值漂移""" import numpy as np import sklearn.cluster as sc import matplotlib.pyplot as plt x = np.loadtxt('../machine_learning_date/multiple3.txt', delimiter=',') # 构建聚类模型 bw = sc.estimate_bandwidth(x, n_samples=len(x), quantile=0.2) # 计算出半径(带宽) model = sc.MeanShift(bandwidth=bw, bin_seeding=True) model.fit(x) # 返回每个样本的聚类的类别标签: 0/1/2/3 pred_y = model.labels_ # 返回所有的聚类中心样本 centers = model.cluster_centers_ print(centers) # 绘制分类边界线 n = 500 l, r = x[:, 0].min() - 1, x[:, 0].max() + 1 b, t = x[:, 1].min() - 1, x[:, 1].max() + 1 grid_x = np.meshgrid(np.linspace(l, r, n), np.linspace(b, t, n)) flat_x = np.column_stack((grid_x[0].ravel(), grid_x[1].ravel())) flat_y = model.predict(flat_x) grid_y = flat_y.reshape(grid_x[0].shape) plt.figure('K-Means Cluster') plt.title('K-Means Cluster', fontsize=14) plt.xlabel('x', fontsize=14) plt.ylabel('y', fontsize=14) plt.tick_params(labelsize=10) plt.pcolormesh(grid_x[0], grid_x[1], grid_y, cmap='gray') plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=pred_y, cmap='brg', s=80) plt.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1], c='red', marker='+', s=500) plt.show()
凝聚层次算法
首先假定每个样本都是一个独立的聚类，如果统计出来的聚类数大于期望的聚类数，则从每个样本出发寻找离自己最近的另一个样本，与之聚集，形成更大的聚类，同时令总聚类数减少，不断重复以上过程，直到统计出来的聚类数达到期望值为止。
凝聚层次算法的特点：
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聚类数必须事先已知。借助某些评估指标，优选最好的聚类数。
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没有聚类中心的概念，因此只能在训练集中划分聚类，但不能对训练集以外的未知样本确定其聚类归属。
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在确定被凝聚的样本时，除了以距离作为条件以外，还可以根据连续性来确定被聚集的样本。
凝聚层次算法相关API：
# 凝聚层次聚类器 model = sc.AgglomerativeClustering(n_clusters=4) pred_y = model.fit_predict(x)
案例：重新加载multiple3.txt，使用凝聚层次算法进行聚类划分。
import numpy as np import sklearn.cluster as sc import matplotlib.pyplot as plt x = np.loadtxt('../machine_learning_date/multiple3.txt', delimiter=',') # 凝聚层次聚类器 model = sc.AgglomerativeClustering(n_clusters=4) pred_y = model.fit_predict(x) # pred_y为x的类别 plt.figure('Agglomerative Cluster', facecolor='lightgray') plt.title('Agglomerative Cluster', fontsize=14) plt.xlabel('x', fontsize=14) plt.ylabel('y', fontsize=14) plt.tick_params(labelsize=10) plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=pred_y, cmap='brg', s=80) plt.show()
在确定被凝聚的样本时，除了以距离作为条件以外，还可以根据连续性来确定被聚集的样本。
""" 基于连续性近邻筛选器的凝聚层次算法 """ import numpy as np import sklearn.cluster as sc import sklearn.neighbors as nb import matplotlib.pyplot as plt n_samples = 500 x = np.linspace(-1, 1, n_samples) y = np.sin(x * 2 * np.pi) n = 0.3 * np.random.rand(n_samples, 2) x = np.column_stack((x, y)) + n # 按列拼接 # 无连续性的凝聚层次聚类器 model_nonc = sc.AgglomerativeClustering(linkage='average', n_clusters=3) pred_y_nonc = model_nonc.fit_predict(x) # 近邻筛选器 conn = nb.kneighbors_graph(x, 10, include_self=False) # 有连续性的凝聚层次聚类器 model_conn = sc.AgglomerativeClustering( linkage='average', n_clusters=3, connectivity=conn) pred_y_conn = model_conn.fit_predict(x) plt.figure('Nonconnectivity', facecolor='lightgray') plt.title('Nonconnectivity', fontsize=14) plt.xlabel('x', fontsize=14) plt.ylabel('y', fontsize=14) plt.tick_params(labelsize=10) plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=pred_y_nonc, cmap='brg', alpha=0.5, s=30) plt.figure('Connectivity', facecolor='lightgray') plt.title('Connectivity', fontsize=14) plt.xlabel('x', fontsize=14) plt.ylabel('y', fontsize=14) plt.tick_params(labelsize=10) plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=pred_y_conn, cmap='brg', alpha=0.5, s=30) plt.show()
轮廓系数
聚类性能的指标：同一个聚类内部的样本要足够密集，不同聚类之间样本要足够疏远。
轮廓系数计算规则：针对样本空间中的一个特定样本，计算它与所在聚类其它样本的平均距离a，以及该样本与距离最近的另一个聚类中所有样本的平均距离b，该样本的轮廓系数为(b-a)/max(a, b)，将整个样本空间中所有样本的轮廓系数取算数平均值，作为聚类划分的性能指标。
轮廓系数的区间为：[-1, 1]。 -1代表分类效果差，1代表分类效果好。0代表聚类重叠，没有很好的划分聚类。
轮廓系数相关API：
import sklearn.metrics as sm # v：平均轮廓系数 # metric：距离算法：使用欧几里得距离(euclidean) v = sm.silhouette_score(输入集, 输出集, sample_size=样本数, metric=距离算法)
案例：输出KMeans算法聚类划分后的轮廓系数。
# 打印平均轮廓系数 print(sm.silhouette_score( x, pred_y, sample_size=len(x), metric='euclidean'))
DBSCAN密度聚类算法
DBSCAN是基于密度的聚类算法，通过将紧密相连的样本划为一类，这样就得到了一个聚类类别。通过将所有各组紧密相连的样本划为各个不同的类别，则我们就得到了最终的所有聚类类别结果。把具有足够高密度的区域划分为镞（同一类别的样本他们之间紧密相连，也就是说在该类别任意样本周围不远处一定有同类别的样本存在）。并可在噪声的空间数据库中发现形状的聚类。
DBSCAN算法的特点：
- 密度聚类算法一般假定类别可以通过样本分布的紧密程度决定。
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事先给定的半径会影响最后的聚类效果，可以借助轮廓系数选择较优的方案。
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根据聚类的形成过程，把样本细分为以下三类：
外周样本：被其它样本聚集到某个聚类中，但无法再引入新样本的样本。
孤立样本：聚类中的样本数低于所设定的下限，则不称其为聚类，反之称其为孤立样本。
核心样本：除了外周样本和孤立样本以外的样本。
DBSCAN聚类算法相关API：
# DBSCAN聚类器 # eps：半径 # min_samples：聚类样本数的下限，若低于该数值，则称为孤立样本 model = sc.DBSCAN(eps=epsilon, min_samples=5) model.fit(x) # 获取训练后所有聚类的核心样本的索引数组 # 可以以此作为掩码，获取所有的核心样本 indices = model.core_sample_indices_ # 每个样本的聚类类别标签 [0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,-1] labels = model.labels_ # 会出现-1的情况，label=-1的样本就是孤立样本
案例：修改凝聚层次聚类案例，基于DBSCAN聚类算法进行聚类划分，选择最优半径。
import numpy as np import sklearn.cluster as sc import sklearn.metrics as sm import matplotlib.pyplot as plt x = np.loadtxt('../machine_learning_date/perf.txt', delimiter=',') epsilons, scores, models = np.linspace(0.3, 1.2, 10), [], [] for epsilon in epsilons: # DBSCAN聚类器 model = sc.DBSCAN(eps=epsilon, min_samples=5) model.fit(x) # 计算轮廓系数 score = sm.silhouette_score( x, model.labels_, sample_size=len(x), metric='euclidean') scores.append(score) models.append(model) scores = np.array(scores) best_index = scores.argmax() # 求出最大值的索引 best_epsilon = epsilons[best_index] # 最优半径 best_score = scores[best_index] # 最优轮廓系数 best_model = models[best_index] print("最优半径", best_epsilon) # 最优半径 0.7999999999999999 print("最优轮廓系数", best_score) # 最优轮廓系数 0.6366395861050828
获取核心样本、外周样本、孤立样本。并且使用不同的点型绘图。
core_mask = np.zeros(len(x), dtype=bool) core_mask[best_model.core_sample_indices_] = True offset_mask = best_model.labels_ == -1 periphery_mask = ~(core_mask | offset_mask) plt.figure('DBSCAN Cluster', facecolor='lightgray') plt.title('DBSCAN Cluster', fontsize=14) plt.xlabel('x', fontsize=14) plt.ylabel('y', fontsize=14) plt.tick_params(labelsize=10) labels = best_model.labels_ # 核心样本 plt.scatter(x[core_mask][:, 0], x[core_mask][:, 1], c=labels[core_mask], cmap='brg', s=80, label='Core') # 外周样本 plt.scatter(x[periphery_mask][:, 0], x[periphery_mask][:, 1], alpha=0.5, c=labels[periphery_mask], cmap='brg', marker='s', s=80, label='Periphery') # 孤立样本 plt.scatter(x[offset_mask][:, 0], x[offset_mask][:, 1], c=labels[offset_mask], cmap='brg', marker='x', s=80, label='Offset') plt.legend() plt.show()
