AtCoder Grand Contest 027D

AtCoder Grand Contest 027D - Modulo Matrix

题目大意

• 要求构造一个$n\ast n$的元素互异且值域为小于等于$10^{15}$正整数的矩阵，要求满足任意相邻两个数$x,y$满足$max(x,y)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}min(x,y)=m$，其中正整数$m$为某个不确定的定值。
• $n\le 500$

题解

• 可以先把相邻的格子黑白染色，那么同种颜色之间没有干扰，
• 一种最简单的构造是把所有黑格按正整数从小到大赋值，接着每个白格的值即为它相邻黑格的$lcm$加上某个常数（比如是$1$），但这样值域最坏大概为$(n^2{)}^4$级别，超过了限制。
• 考虑怎样才能使值域减小，或者说考虑怎样才能使每个白格相邻的黑格的$lcm$最小，
• 用如下方式构造，使黑格所在的每条对角线对应一个质数，那每个黑格的值就是它所在的两条交叉对角线对应的质数之积，而白格和上面一样，
• 这样可以使$lcm$降到$n^4$级别，在值域的范围内。
• 至于为什么要选择质数？
• 很显然，若不选质数会存在有两数相等的情况。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 510
#define ll long long
int a[4 * N], p[100 * N];
ll sx[N][N], sy[N][N];
int main() {
	int n, i, j, s = 0;
	scanf("%d", &n);
	for(i = 2; i; i++) if(!p[i]) {
		a[++s] = i;
		if(s == 4 * n) break;
		for(j = 1; j * i < 100 * N; j++) p[i * j] = 1;
	}
	int t = 0;
	for(i = 0; i <= n + 1; i += 2) {
		t++;
		int x = i, y = 0;
		while(x <= n + 1 && y <= n + 1) sx[x][y] = a[t], x++, y++;
	}
	for(i = 2; i <= n + 1; i += 2) {
		t++;
		int x = 0, y = i;
		while(x <= n + 1 && y <= n + 1) sx[x][y] = a[t], x++, y++;
	}
	if(n % 2 == 0) i = n; else i = n + 1;
	for(i; i >= 0; i -= 2) {
		t++;
		int x = i, y = 0;
		while(x >= 0 && y <= n + 1) sy[x][y] = a[t], x--, y++;
	}
	if(n % 2 == 0) i = 1; else i = 2;
	for(i; i <= n + 1; i++) {
		t++;
		int x = n + 1, y = i;
		while(x >= 0 && y <= n + 1) sy[x][y] = a[t], x--, y++;
	}
	for(i = 1; i <= n; i++) {
		for(j = 1; j <= n; j++) {
			if(sx[i][j]) printf("%lld ", sx[i][j] * sy[i][j]);
			else printf("%lld ", sx[i][j - 1] * sx[i - 1][j] * sy[i - 1][j] * sy[i][j + 1] + 1);
		}
		printf("
");
	}
	return 0;
}