费马小定理
- 若 p p p为质数，且 ( a , p ) = 1 (a,p)=1 (a,p)=1，那么则有 a p − 1 ≡ 1 ( m o d p ) a^{p-1}equiv1pmod p ap−1≡1(modp)
应用
- 一般用于求模质数意义下的逆元，
- 定理两边同时除以 a a a有 a p − 2 ≡ 1 a ( m o d p ) a^{p-2}equivfrac{1}{a}pmod p ap−2≡a1(modp)，
- 则此时 a p − 2 a^{p-2} ap−2即为 a a a的逆元。
- 还可以简化模意义下乘方运算的指数，当指数较大时， a c ≡ a c m o d ( p − 1 ) ( m o d p ) a^cequiv a^{cmod (p-1)}pmod p ac≡acmod(p−1)(modp)。
欧拉定理
- 若 ( a , m ) = 1 (a,m)=1 (a,m)=1，那么则有 a ϕ m ≡ 1 ( m o d m ) a^{phi m}equiv1pmod m aϕm≡1(modm)
- 发现当 m m m为质数时， ϕ m = m − 1 phi m=m-1 ϕm=m−1，则恰好是费马小定理。其实欧拉定理正是费马小定理的扩展。
应用
- 与费马小定理类似，可以用于求乘法逆元和简化模意义下乘方运算的指数。
扩展欧拉定理
- a c ≡ { a c m o d ϕ p , ( a , p ) = 1 a c , ( a , p ) ≠ 1 , c < ϕ p a c m o d ϕ p + ϕ p , ( a , p ) ≠ 1 , c ≥ ϕ p a^cequiv egin{cases} a^{cmod phi p} ,&(a,p)=1\ a^c, & (a,p) eq1,c<phi p\ a^{cmodphi p+phi p},&(a,p) eq1,cgeqphi p\ end{cases} ac≡⎩⎪⎨⎪⎧acmodϕp,ac,acmodϕp+ϕp,(a,p)=1(a,p)�=1,c<ϕp(a,p)�=1,c≥ϕp ( m o d p ) pmod p (modp)
- 顾名思义，这是欧拉定理的扩展，扩充到了模数任意的情况。
应用
- 可以在更大的范围内实现乘方运算降幂。