JZOJ 6276. 【noip提高组模拟1】树（DFS序+扫描线）

JZOJ 6276. 【noip提高组模拟1】树

题目

Description

有一棵n个节点的无根树，给出其中的m对点对<x,y>。问有多少条树上的简单路径<u,v>满足该路径上不存在任何一对给出的点对<x,y>。
这里我们认为路径<u,v>和<v,u>是相同的。并且对于题目中给出的点对<x,y>满足x!=y，对于你要计数的路径<u,v>满足u!=v（即单点不算答案）。

Input

第一行两个正整数n,m。
接下来n-1行每行两个正整数u,v描述树上的一条边。
接下来m行每行两个正整数x,y描述一对给出的点对。
（注意，这里我们不保证同样的点对<x,y>不会重复出现）

Output

一行一个整数，表示满足要求的树上简单路径的条数。

Sample Input

8 3
1 2
1 3
4 8
2 4
2 5
3 6
3 7
2 3
4 8
6 7

Sample Output

11

Data Constraint

Hint

满足条件的路径为$<1,2>，<1,3>，<1,4>，<1,5>，<1,6>，<1,7>，<2,4>，<2,5>，<3,6>，<3,7>，<4,5>$。

题解

• 观察题目，易得答案为总路径条数（不重复）减去不符合条件的路径条数，
• 对于一个$<x,y>$，令其$deep[x]\ge deep[y]$
• 情况一：若$y$是$x$的祖先，则$x$的子树内的所有点与$n$个点中除了$y$的子树以外的所有点之间相互的路径都是不合法的，因为路径必定经过$x$与$y$；
• 情况二：若$x$与$y$没有祖先关系，则$x$的子树内的所有点与$y$的子树内的所有点之间相互的路径都是不合法的，它们必定经过$x$与$y$。
• 但对于不同的$<x,y>$，这些路径会有重复，所以不能单纯地直接计算，那怎么办呢？
• 先把$n$个点的$DFS$序求出来，把不能互相连通的两个区间分别作为矩形的横纵坐标位置，将其覆盖在坐标系中，
• 如$[x1,x2]$（这是一个区间）与$[y1,y2]$不能相互到达，那么在$x1$处，$[y1,y2]$区间打上$+1$标记，在$x2+1$处，$[y1,y2]$区间打上$-1$标记，
• 那么对应的区间怎么表示呢？
• 情况一：分两个区间，情况二：分一个区间。（请自行思考，用$dfn[]$和$size[]$）
• 然后扫描线从左往右扫，用线段树区间修改维护，因为每个加入的区间，后面必定会对应的删除，所以这是标记不下传的区间修改，
• 记录$s[v]$表示线段树上当前区间整段被覆盖的次数，$f[v]$为整个区间未被覆盖的总长度，
• 每次$+1$时，$s[v]++$，$f[v]=0$，
• 每次$-1$时，$s[v]--$，当$s[v]=0$时，$f[v]=f[l]+f[r]$（由左右子树更新自己的值），
• 同时回溯时更新$f[v]=f[l]+f[r]$。
• $ans$每次累加$[i+1,n]$的答案（这样才不会重复）。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define N 100010
int last[N],next[N*2],to[N*2],len=0;
int dfn[N],si[N],dp[N],f[N][20];
int qs=0,bz[N*4];
LL g[N*4],s=0;
struct node
{
	int x,l,r,c;
}q[N*4];
void add(int x,int y)
{
	to[++len]=y;
	next[len]=last[x];
	last[x]=len;
}
void dfs(int k,int fa)
{
	dp[k]=dp[fa]+1,si[k]=1,dfn[k]=++dfn[0];
	f[k][0]=fa;
	for(int i=1;i<20;i++) f[k][i]=f[f[k][i-1]][i-1];
	for(int i=last[k];i;i=next[i]) if(to[i]!=fa)
	{
		dfs(to[i],k);
		si[k]+=si[to[i]];
	}
}
void insert(int x,int xx,int y,int yy)
{
	if(x>xx) return;
	if(y>yy) return;
	if(y<x) swap(x,y),swap(xx,yy);
	q[++qs].x=x,q[qs].l=y,q[qs].r=yy,q[qs].c=1;
	q[++qs].x=xx+1,q[qs].l=y,q[qs].r=yy,q[qs].c=-1;
}
int cmd(node x,node y) 
{
	return x.x<y.x;
}
void make(int v,int l,int r,int x,int y,int c)
{
	if(l==x&&r==y)
	{
		bz[v]+=c;
		if(bz[v]) g[v]=r-l+1;
		if(!bz[v])
		{
			if(l!=r) g[v]=g[v*2]+g[v*2+1]; else g[v]=0;	
		}
	}
	else
	{
		int mid=(l+r)/2;
		if(y<=mid) make(v*2,l,mid,x,y,c);
		else if(x>mid) make(v*2+1,mid+1,r,x,y,c);
		else make(v*2,l,mid,x,mid,c),make(v*2+1,mid+1,r,mid+1,y,c);
		if(!bz[v]) g[v]=g[v*2]+g[v*2+1];
	}
}
void find(int v,int l,int r,int x,int y)
{
	if(l==x&&r==y)
	{
		s+=r-l+1-g[v];
	}
	else
	{
		int mid=(l+r)/2;
		if(y<=mid) find(v*2,l,mid,x,y);
		else if(x>mid) find(v*2+1,mid+1,r,x,y);
		else find(v*2,l,mid,x,mid),find(v*2+1,mid+1,r,mid+1,y);
	}
}
int main()
{
	int n,m,i,j,x,y;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<n;i++) 
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y),add(y,x);
	}
	dfs(1,0);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if(dp[x]<dp[y]) swap(x,y);
		int tx=x;
		if(dp[x]==dp[y])
		{
			insert(dfn[x],dfn[x]+si[x]-1,dfn[y],dfn[y]+si[y]-1);
			continue;
		}
		for(j=19;j>=0;j--) if(dp[x]-(1<<j)>dp[y]) x=f[x][j];
		int tp=x;
		x=f[x][0];
		if(x==y)
		{
			x=tx;
			insert(dfn[x],dfn[x]+si[x]-1,1,dfn[tp]-1);
			insert(dfn[x],dfn[x]+si[x]-1,dfn[tp]+si[tp],n);
		}
		else
		{
			x=tx;
			insert(dfn[x],dfn[x]+si[x]-1,dfn[y],dfn[y]+si[y]-1);
		}
	}
	sort(q+1,q+qs+1,cmd);
	j=1;
	for(i=1;i<n;i++)
	{
		while(j<=qs&&q[j].x==i)
		{
			make(1,1,n,q[j].l,q[j].r,q[j].c);
			j++;
		}
		find(1,1,n,i+1,n);
	}
	printf("%lld
",s);
	return 0;
}