JZOJ 3303. 【集训队互测2013】城市规划（卷积+分治NTT）

JZOJ 3303. 【集训队互测2013】城市规划

题目

Description

刚刚解决完电力网络的问题, 阿狸又被领导的任务给难住了.
刚才说过, 阿狸的国家有n 个城市, 现在国家需要在某些城市对之间建立一些贸易路线, 使得整个国家的任意两个城市都直接或间接的连通.
为了省钱, 每两个城市之间最多只能有一条直接的贸易路径. 对于两个建立路线的方案, 如果存在一个城市对, 在两个方案中是否建立路线不一样, 那么这两个方案就是不同的, 否则就是相同的. 现在你需要求出一共有多少不同的方案.
好了, 这就是困扰阿狸的问题. 换句话说, 你需要求出n 个点的简单(无重边无自环)无向连通图数目.
由于这个数字可能非常大, 你只需要输出方案数mod 1004535809(479 * 2 ^21 + 1)即可.

Input

仅一行一个整数n(<=130000)

Output

仅一行一个整数, 为方案数mod 1004535809.

Sample Input

输入1：
3

输入2：
4

输入3：
100000

Sample Output

输出1：
4

输出2：
38

输出3：
829847355

Data Constraint

对于20%的数据, n <= 10
对于40%的数据, n <= 1000
对于60%的数据, n <= 30000
对于80%的数据, n <= 60000
对于100%的数据, n <= 130000

题解

• 这种计数题，按照常规的思路，先考虑一下递推，
• 设$i$的答案为$f_i$，那么$f_i$可以由$f_j(1\le j<i)$怎么转移，
• 经过思考后，发现好像不是很可行。
• （也许可以，至少多数人都没有推出来）
• 那我们想想容斥（不要怕），用总方案数减去不可行的方案数（这就是容斥的全部），
• 开始推一波式子：
• $$f_i=2^{C_i^2}-\sum _{j=1}^{i-1}{f}_j\ast C_{i-1}^{j-1}\ast 2^{C_{i-j}^2}$$
• $2^{C_i^2}$是$i$个点之间所有无向边选或不选的总方案数；
• ${\sum }_{j=1}^{i-1}$是枚举任意一个点（比如说$1$号点）所在的连通块的大小；
• $f_j$表示该连通块组成的方案数（当点已经确定的情况下）；
• $C_{i-1}^{j-1}$是在剩余点中选出与$i$组成大小为$j$的连通块的方案数；
• $2_{C_{i-j}^2}$是该连通块以外的点之间所有边选或不选的方案数；
• 这样可以保证不重不漏！！！
• 设$g_i$表示$2^{C_i^2}$，也就是$i$个点之间所有无向边选或不选的总方案数，
• $$f_i=2^{C_i^2}-\sum _{j=1}^{i-1}{f}_j\ast C_{i-1}^{j-1}\ast 2^{C_{i-j}^2}$$
• $$=g_i-\sum _{j=1}^{i-1}{f}_j\ast C_{i-1}^{j-1}\ast g_{i-j}$$
• $$=g_i-\sum _{j=1}^{i-1}{f}_j\ast \frac{(i-1)!}{(j-1)!(i-j)!}\ast g_{i-j}$$
• $$=g_i-(i-1)!\sum _{j=1}^{i-1}\frac{f_j}{(j-1)!}\ast \frac{g_{i-j}}{(i-j)!}$$
• 右边显然是个卷积的形式，用$NTT$来做，
• 但是要做$n$次，那么用分治$NTT$.

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define md 1004535809
#define LL long long 
#define N 300010
LL f[N],g[N],q[N],ny[N],ws[N],wt[N],nn[N];
LL a[N],b[N],rev[N];
LL ksm(LL x,LL y)
{
	if(!y) return 1;
	LL l=ksm(x,y/2);
	if(y%2) return l*l%md*x%md;
	return l*l%md;
}
void NTT(LL *a,int ln,int p)
{
	for(int i=0;i<ln;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=1;i<ln;i*=2)
	{
		LL w=ws[i*2];
		if(p==-1) w=wt[i*2];
		for(int j=0;j<ln;j+=2*i)
		{
			LL w0=1;
			for(int k=0;k<i;k++)
			{
				LL A=a[k+j],B=w0*a[k+j+i];
				a[k+j]=(A+B%md)%md;
				a[k+j+i]=(A-B%md+md)%md;
				w0=w0*w%md;
			}
		}
	}
	if(p==-1)
	{
		for(LL i=0;i<ln;i++) a[i]=a[i]*nn[ln]%md;
	}
}
void cdq(LL l,LL r)
{
	if(l==r)
	{
		f[l]=(g[l]-f[l]*q[l-1]%md+md)%md;
	}
	else
	{
		int mid=(l+r)/2,t=0,s=1,i;
		cdq(l,mid);
		for(;s<(r-l+1);s*=2) t++;
		s*=2;
		rev[0]=0;
		for(i=1;i<s;i++) rev[i]=rev[i/2]/2|((i&1)<<t);
		for(i=0;i<=mid-l;i++) a[i]=f[i+l]*ny[i+l-1]%md;
		for(i=mid-l+1;i<s;i++) a[i]=0;
		for(i=1;i<=r-l;i++) b[i]=g[i]*ny[i]%md;
		b[0]=0;
		for(i=r-l+1;i<s;i++) b[i]=0;
		NTT(a,s,1),NTT(b,s,1);
		for(i=0;i<s;i++) a[i]=a[i]*b[i]%md;
		NTT(a,s,-1);
		for(i=1;i<=mid-l+1;i++) f[i+mid]=(f[i+mid]+a[i+mid-l])%md;
		cdq(mid+1,r);
	}
}
int main()
{
	LL n,i,j;
	scanf("%lld",&n);
	LL ln=1;
	for(;ln<n;ln*=2);
	q[0]=1,ny[0]=1;
	for(i=1;i<=ln*2;i++) q[i]=q[i-1]*i%md;
	ny[ln*2]=ksm(q[ln*2],md-2);
	for(i=ln*2-1;i;i--) ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%md;
	for(i=1;i<=ln*2;i++) g[i]=ksm(2,1ll*i*(i-1)/2);
	for(i=1;i<=ln*2;i++) nn[i]=ksm(i,md-2);
	for(i=1;i<=ln*2;i*=2) ws[i]=ksm(3,(md-1)/i),wt[i]=ksm(ws[i],md-2);
	cdq(1,ln);
	printf("%lld",f[n]);
	return 0;
}