JZOJ 3158. 【JSOI2013】丢番图（约数个数）

JZOJ 3158. 【JSOI2013】丢番图

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题目

Description

丢番图是亚历山大时期埃及著名的数学家。他是最早研究整数系数不定方程的数学家之一。

为了纪念他，这些方程一般被称作丢番图方程。最著名的丢番图方程之一是$x^n+y^n=z^n$。费马

提出，对于$n\ge 2$，$x^n+y^n=z^n$没有正整数解。这被称为“费马大定理”，它的证明直到最近才被安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明。

考虑如下的丢番图方程：$1/x+1/y=1/n(x,y,n\in N\ast )$

小G对下面这个问题十分感兴趣：对于一个给定的正整数$n$，有多少种本质不同的解满足方

程？例如$n=4$，有三种本质不同$(x\le y)$的解：

$1/5+1/20=1/4$

$1/6+1/12=1/4$

$1/8+1/8=1/4$

Input

显然，对于更大的$n$，没有意义去列举所有本质不同的解。你能否帮助小G快速地求出对于给定$n$，满足方程的本质不同的解的个数？

Output

一行，仅一个整数$n（1\le n\le 10^{14}）$。

Sample Input

4

Sample Output

3

Data Constraint

对于30%的数据，$n\le 10^5$.
对于50%的数据，$n\le 2^{31}$.
对于100%的数据，$n\le 10^{14}$.

题解

• 首先可以确定$x,y$的范围，$x,y\in [n+1,2n]$，这是十分显然的！
• 一种暴力做法，枚举$x$，判断是否有可行的$y$，
• $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$$
• $$<=>\frac{1}{y}=\frac{x-n}{nx}$$
• $$<=>y=\frac{nx}{x-n}$$
• 枚举完后判断$x-n$是否是$nx$的约数即可。
• 但这样时间是很慢的，不妨再来推一波式子：
• 由上面得：
• $$y=\frac{nx}{x-n}$$
• $$<=>y(x-n)=nx$$
• 同理可得，
• $$x(y-n)=ny$$
• 两式相乘，得
• $$xy(x-n)(y-n)=n^{2}xy$$
• $$<=>(x-n)(y-n)=n^2$$
• 这样方案数就是$n^2$的约数个数……吗？
• 当然不是，因为要求$x\le y$所以答案要除以$2$，
• 但$n^2$的约数中必然是有$n$的，这里不会有重复多余的一组答案，
• 所以最终的答案先加$1$再除以$2$。
• 怎么求$n^2$约数个数？
• 显然是分解质因数，但当然不用分解$n^2$，
• 分解$n$就好了，质因数个数全部乘$2$就是$n^2$的每个质因数个数了！
• 全部加$1$相乘即可得到$n^2$约数个数（小学奥数）。。。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
int a[1000010],p[10000010],f[1000010];
int main()
{
	LL n,t;
	int i,j,s=0;
	scanf("%lld",&n);
	t=floor(sqrt(n));
	for(i=2;i<=t;i++) if(!p[i])
	{
		p[i]=1;
		a[++s]=i;
		for(j=2;j<=t/i;j++) p[i*j]=1;
	}
	int k=1;
	while(n>1&&k<=s)
	{
		while(n%a[k]==0) 
		{
			n/=a[k];
			f[k]++;
		}
		k++;
	}
	LL ans;
	if(n>1) ans=3; else ans=1;
	for(i=1;i<=s;i++) ans=ans*(f[i]*2+1);
	printf("%lld",ans/2+1);
	return 0;
}