JZOJ 5831. 【NOIP提高A组模拟2018.8.18】 number
题目
Description
给定正整数 n,m，问有多少个正整数满足：
1、不含前导 0；
2、是 m 的倍数；
3、可以通过重排列各个数位得到 n。
Input
一行两个整数 n，m。
Sample Input
1 1
Output
一行一个整数表示答案对 998244353 取模的结果。
Sample Output
1
Data Constraint
对于 20%的数据，n<10^10。
对于 50%的数据，n<10^16，m<=20。
对于 100%的数据，n<10^20，m<=100。
题解
看看题目，第3个条件很好地说明了这道题目的算法—数位DP。
既然如此，我们想想如何设做，状态怎么设，需要维护哪些条件。不妨对每个条件来做出一定处理。
条件1：DP第1位时从1至9，而其他的是从0至9即可；
条件2：设一维状态表示对于m取余的结果；
条件3：将每个数选择的个数的状态压缩成一个数来维护。
于是，我们设
f
[
i
]
[
s
]
[
j
]
f[i][s][j]
f[i][s][j]表示第
i
i
i位，选数的状态为
s
s
s，对于m取余的结果为
j
j
j的方案数。
状态转移方程如下：
f
[
i
+
1
]
[
s
′
]
[
[
(
j
∗
10
+
k
)
m
o
d
m
]
=
(
f
[
i
+
1
]
[
s
′
]
[
(
j
∗
10
+
k
)
m
o
d
m
]
+
f
[
i
]
[
s
]
[
j
]
)
f[i+1][s'][[(j*10+k)\mod m]=(f[i+1][s'][(j*10+k)\mod m]+f[i][s][j])
f[i+1][s′][[(j∗10+k)modm]=(f[i+1][s′][(j∗10+k)modm]+f[i][s][j])
其中，
k
k
k为每次枚举当前加入的数字，
s
′
s'
s′为在
s
s
s的基础上添加
k
k
k压缩后在状态，注意时刻要保证当前
k
k
k的个数不能大于
n
n
n中
k
k
k的个数。
最后的答案则为
f
[
l
e
n
]
[
S
]
[
0
]
f[len][S][0]
f[len][S][0]，其中
l
e
n
len
len为
n
n
n的数字位数，
S
S
S为
n
n
n中数字出现的状态。
因为时间过大，维护
q
[
i
]
[
s
]
=
0
/
1
q[i][s]=0/1
q[i][s]=0/1表示
f
[
i
]
[
s
]
[
0
m
−
1
]
f[i][s][0~m-1]
f[i][s][0 m−1]中是否至少有一位有值，因为我们记录的是方案数，所以如果都是
0
0
0时就可以跳过了。每次更新
f
[
i
+
1
]
[
s
′
]
[
[
(
j
∗
10
+
k
)
m
o
d
m
]
f[i+1][s'][[(j*10+k)\mod m]
f[i+1][s′][[(j∗10+k)modm]时把
q
[
i
+
1
]
[
s
′
]
=
1
q[i+1][s']=1
q[i+1][s′]=1即可。
同时，由于空间过大，要使用滚动DP。
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[15],b[15],g[15],p[60010][110],q[21][60010];
long long f[2][60010][110];
char z[21];
int main()
{
int m,i,j,k,l,s;
scanf("%s",z+1);
scanf("%d",&m);
int n=strlen(z+1);
for(i=1;i<=n;i++) a[z[i]-'0']++;
g[10]=1;
for(i=9;i>=0;i--) g[i]=g[i+1]*(a[i]+1);
memset(f,0,sizeof(f));
for(i=1;i<=9;i++) if(a[i]) f[1][g[i+1]][i%m]=1,q[1][g[i+1]]=1;
for(i=1;i<n;i++)
{
for(j=0;j<g[0];j++) if(q[i][j])
{
int t=j;
for(k=0;k<=9;k++)
{
b[k]=t/g[k+1];
t%=g[k+1];
}
for(k=0;k<=9;k++)
{
if(b[k]==a[k]) continue;
b[k]++;s=0;
for(l=0;l<=9;l++) s+=b[l]*g[l+1];
for(l=0;l<m;l++) if(f[i%2][j][l])
{
if(p[s][(l*10+k)%m]!=i+1)
{
p[s][(l*10+k)%m]=i+1;
f[1-i%2][s][(l*10+k)%m]=f[i%2][j][l];
q[i+1][s]=1;
}
else f[1-i%2][s][(l*10+k)%m]+=f[i%2][j][l];
f[1-i%2][s][(l*10+k)%m]%=998244353;
}
b[k]--;
}
}
}
printf("%lld",f[n%2][g[0]-1][0]);
fclose(stdin);
fclose(stdout);
return 0;
}