回文树 回文自动机 PAM 入门学习详解

回文树 回文自动机 PAM

是什么

• 顾名思义，回文自动机是一种自动机，其中的每个状态表示的是一个回文串，可以用来解决与回文串有关的许多问题。
• 和其他自动机一样，它也有转移边（树边）和失配指针（fail）。其中转移边表示的是在原回文串的两边各加一个字符，得到长度加$2$的新回文串；fail指针则指向该回文串的最长回文后缀。
• 和其他自动机有所不同，它有两个根节点， 分别代表长度为偶数的串和长度为奇数的串。它们的长度分别为$0$和$-1$（注意不是$1$，为了添加$2$的长度可以得到长为$1$的回文串），以下分别称为奇根和偶根。
• 值得注意的是，偶根的fail指针指向的是奇根，而奇根的fail并不需在意，它的儿子中总会有长为$1$的回文串，因而不可能会失配。
• 它大概是这样：

如何构造

• 首先初始化两个根节点。

	a[0].len = 0, a[1].len = -1;
	a[0].fail = 1;
	la = 0;//上一个字符的最长回文后缀

• 已经构造好了前$i-1$个字符的回文树，当前需要加入第$i$个字符$c$。
• 从上一个字符的最长回文后缀开始，不断往fail链走，直到能够满足$c=s{t}_{i-len-1}$，即直到某个串的左边的字符和它右边的字符$c$相同。
• 那么这个点的$c$儿子即为当前的最长回文后缀，注意需要判断$c$儿子是否存在，如果不存在需要添加。

	int x = la;
	while(st[i] != st[i - 1 - a[x].len]) x = a[x].fail;
	if(!a[x].p[st[i] - 'a']) a[x].p[st[i] - 'a'] = ++tot;//如果没有儿子则添加
	la = a[x].p[st[i] - 'a'];
	a[la].len = a[x].len + 2;

• 如果新建了一个点，则需要找到这个点的fail指针指向哪里。
• 类似AC自动机地，从它的父亲的fail开始不断往fail链跳，但是不能像AC自动机一样判断当前点是否有$c$这个儿子，而是判断当前回文串的前一个字符是否为$c$。
• 同时注意，当新建的点是长为$1$的回文串时，fail指针要赋为偶根。（这个点的父亲是奇根，而此时我们不需要往它父亲的fail指针走，这就是为什么开始时提到不需要在意奇根的fail）

	if(a[la].len == 1) x = 0;
	else {
		x = a[x].fail;
		while(st[i] != st[i - 1 - a[x].len]) x = a[x].fail;
		//错误写法：while(!a[x].p[st[i] - 'a']) x = a[x].fail;
		x = a[x].p[st[i] - 'a'];
	}
	a[la].dp = a[x].dp + 1;
	a[la].fail = x;
	ls = a[la].dp;

• 过程示意图如下：
  

一些思考

思考一

• 前面提到的“不能”，是为什么呢？
• 在AC自动机上，fail指针指向能匹配上的最长后缀，在父亲跳fail时，只要跳到的点能有$c$儿子，则与当前串必然相同；
• 而在回文树上，fail指针指向的必须是当前回文串的最长回文后缀，尽管跳到的点有$c$儿子，但不能保证关于中心对称的另一边一定有字符$c$，所以不一定满足。
• 简单举个例子：
• AC自动机中，求abbba串的fail指针，从abbb开始跳，若跳到bb时有a儿子，则必然会有bba串，于是可以把fail指针连给它；
• 回文树中，求abbba串的fail指针，从bbb开始跳，若跳到bb时有a儿子，但发现abbba串中并没有abba这样的回文串，所以单单这样判断是不行的。

思考二

• 正确的求法中，并没有判断是否有存在这样的一个儿子，那万一它不存在呢？
• 由于这是一个回文串，把它的fail指针位置关于中心对称，必然存在一个相同的串，所以它必然已经出现在回文树中了。

模板题

P5496 【模板】回文自动机（PAM）
P3649 [APIO2014]回文串