JZOJ 3481. 【NOIP2013模拟10.23】君と彼女の恋（DP+组合数）

JZOJ 3481. 【NOIP2013模拟10.23】君と彼女の恋

题目大意

• 给定$N,M$，求不同的序列数使得序列所有数之和为$M$，且两两在除以$M$后余数互不相同。
• $N\le 10^{18}$，$M\le 100$.

题解

• 暴力可以考虑把$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M$的取值状压，设$f_{i,j}$表示选的数和为$i$，$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M$是否出现过的状态为$j$的方案数，转移显然，最后答案要乘个数的阶乘。
• 但这样复杂度不能接受，由于$N$特别大，但$M$较小，DP时可以只算$[0,m)$中的数，再把剩余部分用组合数计算上，
• 这样一来，不需要记录状态，因为这个范围内它们除以$M$的余数本身就互不相同，只需设$f_{i,j}$表示和为$i$，选了$j$个数的方案数，转移也显然。
• 至于最后怎么计算，首先需要满足$M|N-i$才能是一种合法的答案，还需要把$\frac{N-i}{M}$个$M$分配给$j$个数，用挡板法求得方案数为$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{N-i}{M}+j-1}{j-1}\right)$，当然也还要乘上$j!$。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define md 905229641
#define ll long long
#define M 110
ll f[2][M][M * M], inv[M];
ll C(ll x, ll y) {
	ll s = 1;
	for(ll i = x; i > x - y; i--) s = s * (i % md) % md;
	for(int i = 1; i <= y; i++) s = s * inv[i] % md;
	return s;
}
int main() {
	ll n; int m , i, j, k;
	scanf("%lld%d", &n, &m);
	inv[1] = 1;
	for(i = 2; i <= m; i++) inv[i] = inv[md % i] * (md - md / i) % md;
	f[1][0][0] = 1;
	for(i = 0; i < m ;i++) {
		int o = i % 2;
		memset(f[o], 0, sizeof(f[o]));
		for(j = 0; j <= m; j++)		
			for(k = 0; k <= m * j; k++) {
				f[o][j][k] = f[1 - o][j][k];
				if(k >= i) (f[o][j][k] += f[1 - o][j - 1][k - i]) %= md;
			}
	}
	int o = 1 - m % 2; ll t = 1, ans = 0;
	for(j = 1; j <= m; j++) {
		t = t * j % md;
		for(k = 0; k <= m * j; k++) if(f[o][j][k] && (n - k) % m == 0) {
			ans = (ans + t * f[o][j][k] % md * C((n - k) / m + j - 1, j - 1)) % md;
		}
	}
	printf("%lld
", ans);
	return 0;
}