2020“图灵杯”趣味网络邀请赛 C. 染色（推式子+组合数）

2020“图灵杯”趣味网络邀请赛 C. 染色

题解

• 有一个很简单的想法，两种颜色的个数，设他们分别为$A,B$，则第三种的个数为$C=n-A-B$，则答案为${\sum }_{A=0}^n{\sum }_{B=0}^{n-A}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{A}\right)\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-A}{B}\right)\ast 2^{A\ast B+(A+B)\ast (n-A-B)}$，复杂度为$O(t{n}^2)$，还需考虑优化。
• 可以先枚举$A$，则剩下的$B+C$固定，在询问前先预处理号$B+C=s$时的答案方案数$f_s$，则答案为$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{A}\right)\ast f_{n-A}\ast 2^{A\ast (n-A)}$。
• $f_s$的计算只需枚举$B$是多少，则$f_s={\sum }_{B=0}^s\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{B}\right)\ast 2^{B\ast (s-B)}$。
• 这样一来，复杂度降为$O(n^2+tn)$，可以通过。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define ld long double
#define N 2010
ll e[N * N], c[N][N], ans[N], f[N];
ll read() {
	ll s = 0;
	char x = getchar();
	while(x < '0' || x > '9') x = getchar();
	while(x >= '0' && x <= '9') s = s * 10 + x - 48, x = getchar();
	return s;
}
int main() {
	int tn = read(), p = read(), i, j, k;
	e[0] = 1;
	for(int i = 1; i < N * N; i++) e[i] = e[i - 1] * 2 % p;
	for(i = 0; i < N; i++)  {
		c[i][0] = c[i][i] = 1;
		for(j = 1; j < i; j++) c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % p;
	}
	for(i = 0; i < N; i++) {
		for(j = 0; j <= i; j++) f[i] = (f[i] + e[j * (i - j)] * c[i][j]) % p;
	}
	while(tn--) {
		int n = read();
		ans[n] = 0;
		for(i = 0; i <= n; i++)  {
			ll t = c[n][i];
			ans[n] = (ans[n] + t * f[n - i] % p * e[i * (n - i)]) % p;
		}
		printf("%lld
", ans[n] % p);
	}
	return 0;
}