JZOJ 6979. 【2021.02.03冬令营模拟】天各一方（DP）

JZOJ 6979. 【2021.02.03冬令营模拟】天各一方

题目大意

• 求$n$个点组成的所有不同连通图中，$1$到$n$的最短距离之和。
• $n\le 400$

题解

• 很关键的一点是，因为是所有连边的方案，所以$1$到$n$和$1$到$2$、$1$到$3$……$1$到$n-1$本质上都是相同的，所以答案可以转化为$1$到剩下每个点的最短距离之和再除以$n-1$。

• 试着把所有的点分层，距离即为它们层数的差值。初始时均在第$0$层，通过DP使除了$1$以外所有点下移。

• 设$f_{i,j}$为当前确定好了$i$个点，其中有$j$个点确定了放在最后一层，而剩下的$n-i$此时也被移到了最后一层，但还将继续下移的方案数，$g_{i,j}$表示对应的总和。注意这里并不需要记录层数，因为它对转移无影响。

• 转移时枚举下一层留下多少个$k$，为了保证层数能对应距离，所以下一层只能和当前层连边，不能和上一层连边，同时层内可以自由连边，于是有：

• $f_{i,i+k}=\sum f_{i,j}\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{k}\right)\ast (2^j-1{)}^k\ast 2^{\frac{k(k-1)}{2}}$

• $g_{i,i+k}=\sum (g_{i,j}+(n-i)\ast f_{i,j})\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{k}\right)\ast (2^j-1{)}^k\ast 2^{\frac{k(k-1)}{2}}$

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 410
#define ll long long
int c[N][N], e[N * N], s[N][N], P;
ll f[N][N], g[N][N];
ll ksm(ll x, ll y) {
	if(!y) return 1;
	ll l = ksm(x, y / 2);
	if(y % 2) return l * l % P * x % P;
	return l * l % P;
}
int main() {
	int n, i, j, k;
	scanf("%d%d", &n, &P);
	e[0] = 1;
	for(i = 1; i <= n * n; i++) e[i] = e[i - 1] * 2 % P;
	for(i = 0; i <= n; i++) {
		c[i][i] = c[i][0] = s[i][0] = 1;
		for(j = 1; j < i; j++) c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % P;
		for(j = 1; j <= n; j++) s[i][j] = (ll)s[i][j - 1] * (e[i] - 1) % P;
	}
	f[1][1] = 1, g[1][1] = 0;
	for(i = 1; i < n; i++) {
		for(j = 1; j <= i; j++) {
			for(k = 1; i + k <= n; k++) {
				ll t = (ll)c[n - i][k] * s[j][k] % P * e[k * (k - 1) / 2] % P;
				(f[i + k][k] += f[i][j] * t) %= P;
				(g[i + k][k] += g[i][j] * t + f[i][j] * t % P * (n - i)) %= P;
			}
		}
	}
	ll ans = 0;
	for(i = 1; i <= n; i++) (ans += g[n][i]) %= P;
	printf("%lld
", ans * ksm(n - 1, P - 2) % P);
	return 0;
}

自我小结

• 对若干个等价的方案之一计数，可以先计算总和再除以相应的个数。
• 和图或树有关的计数题可以从小数据入手，尽可能多地设出图的各种性质作为状态，尝试转移，最后再考虑优化。