JZOJ 6974. 【2021.02.01冬令营模拟】联邦解体（拆绝对值+DP）

JZOJ 6974. 【2021.02.01冬令营模拟】联邦解体

题目大意

• 长为$n$的原序列中每个数有两个权值$A_i,B_i$，求保持相对顺序不变的前提下，把原序列分割为两个子序列后所有相邻两项的$A,B$权值之差的绝对值之和的最大值。
• $n\le 10^6$

题解

• 既有绝对值，又要求最大值，考虑到若不取绝对值的话，一定不会比真实答案更优，所以可以去掉绝对值号，而只需保证相邻两项的$A$或$B$对答案的贡献符号相反，注意这里的贡献并不是每个数只贡献一次，而是与其左边和右边的数分别贡献一次，当且仅当边界处才贡献一次。
• 可以考虑DP，不需要记录两个序列中当前最后一个数分别是什么，只需记两个序列的最后一个数的$A,B$分别取了什么符号，共$2\ast 2\ast 2\ast 2=16$种可能，但因为左右边界都少贡献一次，所以还要设两种状态表示是否为左右边界，所以状态一共为$6\ast 6=36$种。
• 转移的时候，先枚举上一位的状态，给当前的$A_i,B_i$分别加上与上一位相反的贡献，再枚举当前位的贡献，再加上即可。对于左右边界的特殊情况，只需要简单的特判。

代码

#include<cstdio> 
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 1000010
#define ll long long
ll f[N][6][6], a[N], b[N];
int read() {
	int s = 0;
	char x = getchar();
	while(x < '0' || x > '9') x = getchar();
	while(x >= '0' && x <= '9') s = s * 10 + x - 48, x = getchar();
	return s;
}
int main() {
	int n = read(), i, j;
	for(i = 1; i <= n; i++) a[i] = read(), b[i] = read();
	memset(f, 128, sizeof(f));
	f[0][4][4] = 0;
	for(i = 1; i <= n; i++) {
		for(j = 0; j < 6; j++) {
			ll s0 = f[i - 1][0][j], s1 = f[i - 1][1][j], s2 = f[i - 1][2][j], s3 = f[i - 1][3][j];
			s0 += a[i] + b[i], s1 += a[i] - b[i], s2 += b[i] - a[i], s3 -= a[i] + b[i];
			ll s4 = f[i - 1][4][j];
			ll s = max(s4, max(max(s0, s1), max(s2, s3)));
			f[i][0][j] = max(f[i][0][j], s - a[i] - b[i]);
			f[i][1][j] = max(f[i][1][j], s - a[i] + b[i]);
			f[i][2][j] = max(f[i][2][j], s + a[i] - b[i]);
			f[i][3][j] = max(f[i][3][j], s + a[i] + b[i]);
			f[i][5][j] = max(f[i][5][j], s);
		}
		for(j = 0; j < 6; j++) {
			ll s0 = f[i - 1][j][0], s1 = f[i - 1][j][1], s2 = f[i - 1][j][2], s3 = f[i - 1][j][3];
			s0 += a[i] + b[i], s1 += a[i] - b[i], s2 += b[i] - a[i], s3 -= a[i] + b[i];
			ll s4 = f[i - 1][j][4];
			ll s = max(s4, max(max(s0, s1), max(s2, s3)));
			f[i][j][0] = max(f[i][j][0], s - a[i] - b[i]);
			f[i][j][1] = max(f[i][j][1], s - a[i] + b[i]);
			f[i][j][2] = max(f[i][j][2], s + a[i] - b[i]);
			f[i][j][3] = max(f[i][j][3], s + a[i] + b[i]);
			f[i][j][5] = max(f[i][j][5], s);
		}
	}
	printf("%lld
", f[n][5][5]);
	return 0;
}

自我小结

• 拆绝对值已经不是第一次出现，套路很常见，要引起注意。