GDKOI 2021 提高组 Day2 第一题 游戏（解方程）

GDKOI 2021 提高组 Day2 第一题 游戏

题目大意

• 从$0$颗星开始到$n$颗星结束，有$i$颗星时，会有$x_i$的概率升星，$1-x_i$概率降星，$i$为$0$时则保持不变，求到达$n$颗星的期望步数。
• $n\le 10^6$

题解

• 根据期望的线性性，可以分别求出每个从$i$到$i+1$的期望步数，然后全部相加即为答案。
• 当$i=0$时，可以列出方程：
• $p_0=x+(1-x)(1+p_0)$。
• 当$i>0$时，可以列出方程：
• $p_i=x+(1-x)(1+p_{i-1}+p_i)$。
• 发现该形式可以从$0$开始依次解出来。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define md 998244353
#define N 1000010
int read() {
	int s = 0;
	char x = getchar();
	while(x < '0' || x > '9') x = getchar();
	while(x >= '0' && x <= '9') s = s * 10 + x - 48, x = getchar();
	return s;
}
ll ksm(ll x, ll y) {
	if(!y) return 1;
	ll l = ksm(x, y / 2);
	if(y % 2) return l * l % md * x % md;
	return l * l % md;
}
int main() {
	int n = read(), i;
	ll ans = 0, la = 0;
	for(i = 1; i <= n; i++) {
		ll x = read(), y = read();
		x = x * ksm(y, md - 2) % md;
		la = (la + 1 - x * la % md + md) * ksm(x, md - 2) % md;
		ans = (ans + la) % md;
	}
	printf("%lld
", ans);
	return 0;
}

自我小结

• 期望题解方程是比较一般的套路。
• 但尽管再简单的题也要注意检查，注意模数的大小，并且注意每个地方都要记得取模，负数需改为正。