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  • 约瑟夫问题的推导

    对于约瑟夫问题,若暴力模拟游戏过程,则时间复杂度会变为报的数*人数。

    如果问题只是询问的最终留的人数,则可以达到o(n)的算法

    利用递推的思想。若只有一个人游戏,则肯定那个人获胜。
    逆向思维一下,一个人的游戏肯定是由两个人的游戏转化过来。
    两个人的游戏肯定是从三个人的游戏转化过来。

    可是怎么递推呢?

    我们先想一下,我们一开始会认为:对于某一个人来说,使他出队的是他所报的编号,而不是他的编号。可是,仔细想想,假设有有一个0~n-1的人队,报道k出队,k号为最后的赢家。
    那么编会是k-1号人出队。

    我们来看一下每个人所报的号
    
     k-2 k-1 k k+1 k+2 k+3 
     
     k-1 k   1 2   3   4
     
     我们将k作为队首在编一次号
     
     k-2          k-1          k k+1 k+2 k+3
     
     k-1          k            1 2   3   4
     
     (n+k-2)-k    (n+k-1)-k    0 1   2   3
     n-2          n-1          0 1   2   3
    

    将原来的k-1去掉,不难发现,游戏变成了n-1个人的游戏,且编号为0~n-2。

    除去出的人,其余的每个人的编号都减去了k(k-1、k-2加n是为了保证正数)

    那么我们从n-1个人的游戏中还原出n个人的游戏赢者的编号,只需要将k加回来即可(不过要保证编号在0~n-1中,这也就是为什么下的递推式中%n的原因

    设f(n)表示n个人的游戏中的赢者

    f(1)=0(因为第一个人的标号是0)
    f(n)=(f(n-1)+k)%n

    ps:这里的n式随着函数f中的n变化而变化的

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Lance1ot/p/8494569.html
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