从狄利克雷卷积到莫比乌斯函数

之前学莫比乌斯反演的时候就被莫比乌斯函数震惊了，从(f(x)=sumlimits_{d|n}g(d))反演出(g(n)=sumlimits_{d|n}mu(d) imes f(frac{n}{d}))，给出了谜一般的(mu(x))函数的定义，令人百思不得其解，感觉定义出莫比乌斯函数的人似乎对容斥原理有了高深的造诣。这里从狄利克雷卷积((Dirichlet)卷积)出发，可以很自然地导出莫比乌斯函数，并得到莫比乌斯反演公式。

一些定义

积性函数

如果(gcd(x,y)=1)，且(f(xy)=f(x) imes f(y))，则(f(x))为积性函数。

数论函数

数论函数亦称算术函数，一类重要的函数，指定义在正整数集上的实值或复值函数，更一般地，也可把数论函数看做是某一整数集上定义的函数——《百度百科》

总之可以理解为是定义域为正整数集的函数。

常见的数论函数：

单位函数：(epsilon(n)=[n=1])

常数函数：(1(n)=1)

恒等函数：(Id(n)=n)

欧拉函数：(varphi(n)=sumlimits_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1])

莫比乌斯函数：(mu(n))

(Dirichlet)卷积

定义

(f,g)为两个数论函数，它们的(Dirichlet)卷积为：

[(f*g)(n)=sumlimits_{d|n}f(d)*g(dfrac{n}{d}) ]

（可见它跟数的因子有很密切的关系）

其中单位函数(epsilon(n)=[n=1])是(Dirichlet)卷积的单位元，即任何函数卷(epsilon)都得它本身。

可以理解卷积是一种运算，它的作用对象是函数。

性质

(Dirichlet)卷积满足交换律、结合律和分配律。

交换律

[(f*g)(n)=(g*f)(n) ]

证明它不香吗？

证明：

由于(d)与(dfrac{n}{d})有对称性，故

[(f*g)(n)=sumlimits_{d|n}f(d) imes g(dfrac{n}{d})=sumlimits_{d|n}g(d) imes f(dfrac{n}{d})=(g*f)(n) ]

证毕。

结合律

[((f*g)*h)(n)=(f*(g*h))(n) ]

证明它不香吗？

证明：

[((f*g)*h)(n)=sumlimits_{t imes d_3=n}(sumlimits_{d_1 imes d_2=t}f(d_1) imes g(d_2)) imes h(d_3)=sumlimits_{d_1 imes d_2 imes d_3=n}f(d_1) imes g(d_2) imes h(d_3)=sumlimits_{t imes d_1=n}f(d_1) imes (sumlimits_{d_2 imes d_3=t}g(d_2) imes h(d_3))=(f*(g*h))(n) ]

证毕。

分配律

[((f+g)*h)(n)=(f*h)(n)+(g*h)(n) ]

证明它不香吗？

证明：

[((f+g)*h)(n)=sumlimits_{d|n}(f(d)+g(d)) imes h(dfrac{n}{d})=sumlimits_{d|n}f(d) imes h(dfrac{n}{d})+sumlimits_{d|n}g(d) imes h(dfrac{n}{d})=(f*h)(n)+(g*h)(n) ]

证毕。

两个积性函数的Dirichlet卷积仍然是积性函数。

证明它不香吗？

证明：

若(gcdleft( x,y ight)=1)，则(fleft( xy ight)=fleft( x ight) imes fleft( y ight))，(gleft( xy ight)=gleft( x ight) imes gleft( y ight))。

则

[left( f*g ight)left( n ight) imes left( f*g ight)left( m ight)=displaystyle sumlimits_{d_1|n}fleft( d_1 ight) imes gleft( dfrac{n}{d_1} ight) imes displaystyle sumlimits_{d_2|m}fleft( d_2 ight) imes gleft( dfrac{m}{d_2} ight)=displaystyle sumlimits_{d_1|n}displaystyle sumlimits_{d_2|m}fleft( d_1 ight) imes fleft( d_2 ight) imes gleft( dfrac{n}{d_1} ight) imes gleft( dfrac{m}{d_2} ight)=displaystyle sumlimits_{d_1|n}displaystyle sumlimits_{d_2|m}fleft( d_1d_2 ight) imes gleft( dfrac{nm}{d_1d_2} ight)=displaystyle sumlimits_{d|nm}fleft( d ight)gleft( dfrac{nm}{d} ight)=left( f*g ight)left( nm ight) ]

证毕。

(Dirichlet)卷积的逆

类比算数运算上的(a imes b=1)，如果两个数论函数的卷积后为单位(1)，即(f*g=epsilon)（(n)省略），则(g)是(f)的逆，即(g=f^{-1})，我们考虑下如何去求(f^{-1})。

把(f*g=epsilon)展开得(displaystyle sumlimits_{d|n}fleft( d ight) imes gleft( dfrac{n}{d} ight)=epsilonleft( n ight))，我们要求的是(gleft( n ight))，把它从和式分离出来得

[fleft( 1 ight) imes gleft( n ight)=epsilonleft( n ight)-displaystyle sumlimits_{d|n且d eq 1}fleft( d ight) imes gleft( dfrac{n}{d} ight) ]

当(fleft( 1 ight) eq 0)时，存在(gleft( n ight)=dfrac{1}{fleft( 1 ight)} imes left( epsilonleft( n ight)-displaystyle sumlimits_{d|n且d eq 1}fleft( d ight) imes gleft( dfrac{n}{d} ight) ight))，即

[f^{-1}left( n ight) =dfrac{1}{fleft( 1 ight) } imes left( epsilonleft( n ight) -displaystyle sumlimits_{d|n且d eq 1}fleft( d ight) imes f^{-1}left( dfrac{n}{d} ight) ight) ]

很显然当(n=1)时(f^{-1}(1)=1)。

这就是(Dirichlet)卷积的逆公式。

从这里可以很容易证明，如果(f(n))是积性函数，它的逆(f^{-1}(n))也是积性的，方法同第四条性质的证明方法。

莫比乌斯反演

讲了这么多，终于轮到莫比乌斯了。

已知(f(n)=sumlimits_{d|n}g(d))，求(g(n))。

我们从(Dirichlet)卷积的角度去看式子，即是(f=g*1)，即函数(f(n))是(g(n))与常数函数(1(n)=1)的(Dirichlet)卷积的结果。

我们要求(g(n))，我们可以在等式两边乘以常数函数的逆(1^{-1}(n))，这样式子就变成了(g*(1*1^{-1})=g=f*1^{-1})，这样我们就可以求得(g(n))，现在关键是如何求得(1^{-1}(n))。

由于(1*1^{-1}=epsilon)，根据上面的逆的公式得到

[1^{-1}(n)=dfrac{1}{1left( 1 ight) } imes left( epsilonleft( n ight) -displaystyle sumlimits_{d|n且d eq n}1left( d ight) imes 1^{-1}left( dfrac{n}{d} ight) ight)=left( epsilonleft( n ight) -displaystyle sumlimits_{d|n且d eq n}1^{-1}left( dfrac{n}{d} ight) ight) ]

我们记(1^{-1}(n)=mu(n))。

因为(1(n))是积性函数，故其逆(mu(n))也是积性的。

当(n=1)时，(mu(1)=1)。

当(n>1)时，(epsilon(n)=0)，(mu(n)= -displaystyle sumlimits_{d|n且d eq 1}muleft( dfrac{n}{d} ight)=-displaystyle sumlimits_{d|n且d eq n}muleft( d ight))

当(n)是质数时，(mu(n)= -displaystyle sumlimits_{d|n且d eq n}muleft( d ight)=-mu(1)=-1)。

当(n)是质数的幂时，设(n=p^c(c>1))，则(mu(p^c)=-displaystyle sumlimits_{d|p^{c-1}}muleft( d ight)=-mu(p^{c-1})-displaystyle sumlimits_{d|p^{c-2}}muleft( d ight)=-mu(p^{c-1})+mu(p^{c-1})=0)。

故如果(n=prodlimits_{i}p_i^{c_i}prodlimits_{j}p_j)，其中(c_i>1)，(p_i)均是各异的质数，由于(mu(n))是积性函数，则(mu(n)=prodlimits_{i}mu(p_i^{c_i})prodlimits_{j}mu(p_j)=0 imes prodlimits_{j}mu(p_j)=0)。

当(n=prodlimits_{i=1}^{k}p_i)，根据其积性，可得(mu(n)=prodlimits_{i=1}^{k}mu(p_i)=(-1)^{k})，其中(k)是(n)质因数分解后互异质数的个数。

综上我们就可以得到(mu(n))的表达式了。

莫比乌斯函数

设(n=prodlimits_{i=1}^{k}p_{i}^{c_{i}})

[mu(n)=egin{cases} 1 & n=1 \ 0 & exists i in [1,k],c_i>1 \ (-1)^k & forall i in [1,k],c_i=1 end{cases}]

由此我们就得到了常数函数(1(n))的逆的表达式(mu(n))，所以(g=f*1^{-1}=f*mu)，即(g(n)=sumlimits_{d|n}f(d)*mu(dfrac{n}{d}))。

这就是莫比乌斯反演中得到的公式以及(mu(n))函数的由来了。

莫比乌斯反演还有另一种形式：

(f(n)=sumlimits_{n|d}g(d))，则(g(n)=sumlimits_{n|d}f(n) imes mu(dfrac{d}{n}))。

然而就算知道这些你还是不会做题

由于(mu*1=epsilon)，其中(epsilon(n))当且仅当(n=1)时(epsilon(n)=1)，其余情况(epsilon(n)=0)，这与([gcd(i,n)=1])非常类似，因为也是只有当(gcd(i,n)=1)时([gcd(i,n)=1]=1)，其余情况([gcd(i,n)=1]=0)。

故对于([gcd(i,n)=1])我们可以把它替换成(epsilon([gcd(i,n)=1]))，再而换成(displaystylesumlimits_{d|gcd(i,n)}mu(d))，然后我们就可以搞事情了并不知道有什么用，看看下面吧。

欧拉函数

众所周知，(varphi(n)=sumlimits_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1])，我们将右式替换，得到

[varphi(n)=sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{d|i}mu(d) ]

然后我们再进行常规变换，改变求和的顺序，先枚举因子，然后看看这个因子出现了多少次。

[varphi(n)=sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{d|gcd(i,n)}mu(d)=sumlimits_{d|n}mu(d) imes frac{n}{d} ]

把(n)移到左边就得到一个著名的式子

[dfrac{varphi(n)}{n}=sumlimits_{d|n}dfrac{mu(d)}{d} ]

莫比乌斯函数与欧拉函数就神奇的联系在一起了。

还是看上面的式子，写成(Dirichlet)卷积的形式就是

[varphi=mu*Id ]

其中(Id(n)=n)。对这个式子我们两边再卷常数函数(1)得

[varphi*1=1*mu*Id=epsilon*Id=Id ]

即(n=sumlimits_{d|n}varphi(d))

欧拉函数还有另一种求法，根据欧拉函数的定义，

若(n=p)是质数，则(varphi(p)=p-1)

若(n=p^c)，由于(p imes i (i in [1,p^{c-1}]))都是(n)的因子，根据容斥原理知(varphi(p^c)=p^c-p^{c-1}=p^{c} imes (1-frac{1}{p}))。

若(n=prodlimits_{i=1}^{k}p_{i}^{c_i})，由于欧拉函数是积性函数，故(varphi(n)=prodlimits_{i=1}^{k}varphi(p_{i}^{c_i})=prodlimits_{i=1}^{k}p_{i}^{c_i}(1-dfrac{1}{p_{i}^{c_i}})=nprodlimits_{i=1}^{k}(1-dfrac{1}{p_{i}^{c_i}}))

总结

这篇文章讲了什么呢其实什么都没讲，其实就是从(Dirichlet)卷积的角度介绍了莫比乌斯函数(mu(n))和莫比乌斯反演以及证明了关于欧拉函数(varphi(n))与莫比乌斯函数(mu(n))的等式。至于题目，大都是要运用技巧和([gcd(i,n)=1]=sumlimits_{d|gcd(i,n)}mu(d))等式，进行各种变换，最后再预处理加上什么数论分块的做法解决的，但这并不是这篇文章的重点。

至于杜教筛，是用来解决某些特别的数论函数(f(n))的(S(n)=sumlimits_{i=1}^{n}f(i))的方法，通过选择另外两个数论函数(h(n),g(n))，使得(h=f*g)，从卷积的角度出发诱导出(S(n))。至于如何选择(h,g)，卷积的恒等式：

[epsilon=mu*1 ]

[d=1*1 ]

[sigma=d*1 ]

[varphi=mu*Id ]

[Id=varphi*1 ]

给我们指引了方向。具体的怎样留个坑qwq

其中(d(n))表示(n)的因子个数，(sigma(n))表示(n)的因子和。