[数论]线性基学习笔记

(Q:)这都是些什么东西？听起来就觉得很毒瘤难啊？？

(A:)这就是一种反人类的工具。

先来下定义：

• 向量加法

  对于两个向量(a=(a_1,a_2,dots,a_n),b=(b_1,b_2,dots,b_n))，有

  [c=a+b=(a_1+b_1,a_2+b_2,dots,a_n+b_n) ]

• 标量乘法

  对于向量(a=(a_1,a_2,dots,a_n))，常数(b)，有

  [c=ab=(a_1b,a_2b,dots,a_nb) ]

• 线性空间

  设有(n)个向量({a_1,a_2,dots,a_n})，若向量(b=c_1a_1+c_2a_2+dots+c_na_n)，其中(c_1,c_2,dots,c_n)为常数，则(b)可以由(a_1,a_2,dots,a_n)表出，称所有这样的(b)的集合为一个“线性空间”，(a_1,a_2,dots,a_n)为此线性空间的生成子集。

• 线性相关

  若对于向量集合({a_1,a_2,dots,a_n})，存在(a_i)能被除(a_i)以外的(a_1sim a_n)表出，则称这些向量“线性相关”，不则称为“线性无关”。

• 基

  基则是线性空间的线性无关生成子集，基的向量个数称为线性空间的维数。

• 秩

  对于一个(N imes M)的矩阵，称矩阵的每一行为一个长度为(M)的行向量，所表示的线性空间的维数称为矩阵的秩（行秩）。同理可定义列向量和列秩。

(Q:)可以说人话吗？

嘛其实上面的东西用处不是很大，只是介绍一下正式一点。

举个例子(.jpg)

线性空间 (Rightarrow) 平面直角坐标系

线性相关 (Rightarrow) ((0,1,1)=(0,0,1)+(0,1,0))

基 (Rightarrow) ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))即为一组基底（(x,y,z)轴的单位）

秩 (Rightarrow) (3)

那么对于一个矩阵进行消元，剩下的显然构成一组基底。

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P3812 【模板】线性基

• 模板题。

• 如何构造线性基？

设线性基第(i)位对应的数为(p_i)。

对每个数(a_j)从高位向低查询，若有第(k)位，则将(a_jxor)上(p_k)，否则插入并(break)。

显然，一个数要么插入线性基，要么能被其他数(xor)而成。

• 如何查询最值？

弹性的从高到低遍历每一位，若(i)位为(0)则(xor)上(p_i)。

正确性显然 因为每一位不会在后面被改变，所以为(1)是最优的。

(So Easy...?)

时间复杂度 (O(nlog_2a))

空间复杂度 (O(log_2a))

代码：

#include <cstdio>

int n;
long long a,p[55];//各基底

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	while(n--)
	{
		scanf("%lld",&a);
		for(int i=51;i>=0;--i)
			if(a>>i&1)
				{if(p[i])a^=p[i];//已有对应基底
				else p[i]=a,i=0;}//插入，结束
	}
	long long Ans=0;
	for(int i=51;i>=0;--i)
		if(!(Ans>>i&1))
			Ans^=p[i];//贪心求解
	printf("%lld
",Ans);
	return 0;
}

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(Q:)学了这个之后我们可以干什么呢？

(A:)我们可以切黑题 解决许多与(xor)有关的题目了。

以上。逃去刷题了