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(4.Extreme-FWT)
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FWT((Fast Walsh-Hadamard Transform))
中文名称：快速沃尔什变换
(Fast Wrong-Answer Transform)
(Q:)有完没完了？(FWT)又是什么？现在已经能处理任意情况的多项式乘法了，还要这个干什么？
(A:)我也不想学啊，根本背不下来
虽然现在我们可以快速求出(C=A*B,C_k=sum_{i+j=k}A_i*B_j)了，但是现在让你求(C=Aoplus B,C_k=sum_{ioplus j=k}A_i*B_j)，其中(oplus)代表一个位运算符号，如(|(or),&(and),land(xor))，你该怎么做呢？
这时就到(FWT)登场了。
接下来让我们对于(FWT)的(3)种形式感性理解分别讨论
(Part1--FWT(or))
设(A_0,A_1)分别表示长度为(n=2^x)的多项式(A)的前半部分和后半部分。
首先，给出(FWT(A))的计算方式：
其中((A,B))表示两个多项式相连。
那么(n=1)是显然是对的，边界嘛。
至于(n>1)的情况如何理解？
对于(A_0)和(A_0)中两个数下标(or)起来一点还在(A_0)中（二进制下最高位为(0)，是前半部分），那么就只对前半部分有贡献。
对于(A_1)和(A_1)中两个数，同理只对后半部分有贡献。
对于(A_0)和(A_1)中的两个数，思考(FWT(A)_k)的意义，有：
因为当(i|k=k,j|k=k)时，有((i|j)|k=k)，满足(FWT)的可合并性质。
那么因为(A_1)下标二进制最高位为(1)，所以(or)起来只对后半部分产生贡献。
贡献就是(A_0)对(A_1)的贡献（(A_1)已经贡献过自己了，不用再加）。
那么式子就很明显了。
同时根据(FWT(A))的意义，容易发现(FWT(A_0+A_1)=FWT(A_0)+FWT(A_1))。
接下来证明(FWT(A|B)=FWT(A)*FWT(B))(保证(or)卷积答案的正确性，要不然(FWT)就没有用了)。
当(n=1)时，性质显然成立
当(n>1)时，：
由数学归纳法得知，此性质成立。
那么(or)的(FWT)就很好写了~~代码在后面。
(Part2--FWT(and))
(and)的(FWT)就和(or)的很类似了。
因为(A_0)和(A_1)最高位不同，那么(and)后只对(A_0)有贡献。
类似(or)的，可以得到(FWT(A))的计算方式：
至于证明就不写了，和(or)的类似，写着麻烦。
(Part3--FWT(xor))
最迷的(xor)来了
说实话，在网上找了许多(Blog)，似乎都没有给出构造方法，那么我也不会啊
你就当是某位神仙找的规律吧
首先是(FWT(A))的计算方式：
看着都恶心，这怎么构造出来的啊(QAQ)
那么根据定义，很容易证明(FWT(Apm B)=FWT(A)pm FWT(B))
因为(FWT)是一个线性组合，满足以上性质。
然后是(FWT(Aland B)=FWT(A)*FWT(B))
这个也可以用数学归纳法证明，详见参考资料
(Q:)等等……是不是少了什么？(FWT)后怎么变回去呢？
(A:)这还不简单接下来的过程就是(IFWT)了！
(Part4--IFWT(or))
(Emm...)至于(IFWT)呢就很简单了，把变换倒过来即可。
(这不是废话吗)
那么对于(or)的(IFWT)，考虑之前有(FWT)的方程：
也就是：
此时定义(IFWT(A)_0=FWT(A_0),IFWT(A)_1=FWT(A_1)) ，也就有：
(En...)真简单
(Part5--IFWT(and))
类似(or)的(IFWT)，可以直接得到：
过程类似，这里就不多赘述。。
(Part6--IFWT(xor))
(xor)的(IFWT)出人意料地一样简单。
由定义得：
解方程就简单了。
最后有：
终于完了
那么接下来就是看图写话看定义写代码过程了：
这里为了节省代码量把(6)个函数写一起了（因为框架大致类似）。
代码：
#include <cstdio>
#include <cstring>
typedef long long ll;
const int Mod=998244353,Inv2=(Mod+1)>>1;//Inv2 2在mod998244353下的逆元
int n,a[1<<17],b[1<<17],as[1<<17],bs[1<<17];
void FWT(int *A,int op,int t)
//op [1/-1][FWT/IFWT]
//t [1,2,3][or/and/xor]
{
for(int i=2;i<=n;i<<=1)//i 区间长度
for(int j=0,m=i>>1;j<n;j+=i)//j 区间左端 m 区间大小一半
for(int k=0;k<m;++k)//k 正在算第几个数
if(t==1)A[j+m+k]=((ll)A[j+m+k]+A[j+k]*op+Mod)%Mod;
else if(t==2)A[j+k]=((ll)A[j+k]+A[j+m+k]*op+Mod)%Mod;
else
{
int A0=A[j+k],A1=A[j+m+k];
A[j+k]=(ll)(A0+A1)*(op==1?1:Inv2)%Mod;
A[j+m+k]=(ll)(A0-A1+Mod)*(op==1?1:Inv2)%Mod;
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n),n=1<<n;
for(int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&as[i]);
for(int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&bs[i]);
for(int t=1;t<=3;++t)//分别计算or/and/xor
{
memcpy(a,as,sizeof(int)*n);
memcpy(b,bs,sizeof(int)*n);
FWT(a,1,t),FWT(b,1,t);
for(int i=0;i<n;++i)a[i]=a[i]*1LL*b[i]%Mod;
FWT(a,-1,t);
for(int i=0;i<n;++i)printf("%d%c",a[i],i==n-1?'
':' ');
}
return 0;
}
代码应该很好懂，就不解释了。
我只能说：(FWT)真好背真好写。
参考资料：（(Dalao TQL)）