14 用DFT计算线性卷积

用DFT计算线性卷积

两有限长序列之间的卷积

我们知道，两有限长序列之间的卷积可以用圆周卷积代替，假设两有限长序列的长度分别为(M)和(N),那么卷积后的长度为(L=M+N-1),那么用圆周卷积计算线性卷积的具体过程为:

1. 首先将两序列在尾部补零，延拓成长度为L=M+N-1的序列
2. 将两序列进行圆周卷积，卷积后的结果即为线性卷积的结果

  而圆周卷积的实现可以通过下图实现

现讨论(X[k])的(IDFT)使用(DFT)实现

[x[n]=frac{1}{N}sum_{n=0}^{N-1}X[k]W_N^{-kn}=frac{1}{N}(sum_{n=0}^{N-1}X^{*}[k]W_N^{kn})^{*} ightarrow frac{1}{N}(DFT{X^{*}[k]})^{*} ]

上图可以改进为

所以线性卷积可以完全使用(DFT)实现，而(DFT)可以使用其快速算法(FFT​)大大降低计算量。

有限长序列与无限长序列卷积

或者说有限长序列与另一长度远大于其长度的序列进行卷积，如果按照上面直接用(DFT)计算的话，有两个问题。

1. 必须知道无限长序列的全部元素，才能进行计算
2. 用DFT计算卷积可能还不如直接进行卷积运算来得快

为解决上述的问题，可以将无限长序列划分为短序列，将短序列与有限长序列进行卷积，然后对结果进行处理，主要由两种方法:重叠相加法和重叠保留法。

重叠相加法

假设有限长序列(h[n])的长度为(M),无限长序列(x[n])将其以长度(N)进行分割，则

[x[n]=sum_{m=-infty}^{infty}x_m[n-mN] ]

其中

[x_m[n]=egin{cases} x[n+mN], &0 leq n leq N-1\ 0, &其他 end{cases} ]

(x_m[n])表示将划分的第(m)段的起点移到原点。如下

则卷积

[egin{aligned} y[n]=h[n]*x[n]&=sum_{l=-infty}^{infty}h[l]x[n-l]\ &=sum_{l=-infty}^{infty}h[l]sum_{m=-infty}^{infty}x_m[n-l-mN]\ &=sum_{m=-infty}^{infty}sum_{l=-infty}^{infty}h[l]x_m[n-l-mN]\ &=sum_{m=-infty}^{infty}h[n]*x_m[n-mN] end{aligned} ]

记(y_m[n]=h[n]*x_m[n]),则上式可写为

[y[n]=sum_{m=-infty}^{infty}y_m[n-mN] ]

该式表示卷积结果等于(h[n])与(x_m[n])卷积，然后将这些卷积结果移位相加。

可知(mNacksim mN+M-2)共(M-1)点是重叠的，这些点要加起来，所以具体算法是:将(x[n])以(N)为长度划分为若干组(x_m[n])，将这些组分别与(h[n])进行卷积得到(y_m[n]),然后将这些卷积结果进行移位，重叠部分要相加，这就是重叠相加法。

上述提到的(x_m[n])与(h[n])的卷积，均可使用上面提到的(DFT)实现。

重叠保留法

同样将(x[n])以长度(N)进行划分，一般取(N>M),这时以(N)点进行圆周卷积。实际卷积的长度(l=N+M-1),由圆周卷积与线性卷积的关系，知圆周卷积的后(2N-l=N-M+1)个点与线性卷积的结果是一致的。

取

[x_m[n]=egin{cases}x[n+mL], &0 leq n leq N-1 \ 0, &其他end{cases} ]

将(x_m[n])与(h[n])进行(N)点圆周卷积得到(y_m[n])，只取后(N+M-1)个点，其余重叠的前(M-1)个点舍弃(保留)。然后进行移位相加，得到的结果就是进行线性卷积的结果。

由上图知，要使得到的结果表示(y[n]),应使得(L-M-2=N-2+1 Rightarrow L=N-M+1)

同理上面提到的圆周卷积均可用(DFT)进行实现。