FFT及其框图实现
(FFT)的全称为快速傅里叶变换，但是(FFT)并不是一种变换，而是实现(DFT)的一种快速算法。当(N)比较大时，使用(FFT)可大大减少进行(DFT)变换的计算量。
(N)点的(DFT)所需的计算量为:
[X[k]=sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{kn}
]
乘法:(N^2)次，加法:(N(N-1))次。每当(N)提高一倍，计算量增大四倍。
基(2)时域抽取
假设有一长度为(2N)的有限长序列(x[n])，现对其进行(DFT)变换，现有一算法可以将(2N)点的(DFT)计算降为(N)的(DFT)计算，记(g[n])为(x[n])的下标为偶数时的序列，即(g[n]=x[2n],0leq n leq N-1),记(v[n])为(x[n])的下标为奇数时的序列，即(v[n]=x[2n+1],0leq n leq N-1),则
[egin{aligned}
X[k]&=sum_{n=0}^{2N-1}x[n]W_{2N}^{kn}\
&=sum_{n=0}^{N-1}x[2n]W_{2N}^{k2n}+sum_{n=0}^{N-1}x[2n+1]W_{2N}^{k(2n+1)} \
&=sum_{n=0}^{N-1}g[n]W_N^{kn}+W_{2N}^ksum_{n=0}^{N-1}v[n]W_N^{kn} \
&=G[<k>_N]+W_{2N}^{k}V[<k>_N], 0leq k leq 2N-1
end{aligned}
]
当(0 leq k leq N-1)时
[X[k]=G[k]+W_{2N}^kV[k]
]
当(N leq k leq 2N-1)时
[X[k]=G[<k>_N]+W_{2N}^{k}V[<k>_N]xrightarrow{k=m+N}G[m]-W_{2N}^{m}V[m], 0leq m leq N-1
]
其中(g[n])和(v[n])的(DFT)都是(N)点的。
两个(N)点的(DFT)的运算量(以乘法为例)为(2N^2),而一个(2N)点的(DFT)运算量为(4N^2),计算量减少了一半!如果(N=2^r),则可以一直降下去，从而大大的减少了计算量。通过计算，可以知道此时的计算量为:乘法:(dfrac{N}{2}log_2N),加法:(Nlog_2N)。
下面以8点的(DFT)为例,其实现框图为:
基(2)频域抽取
依然对于(2N)点的序列(x[n])进行(DFT)计算，这次将(x[n])分为前后两部分，即(g[n])为(x[n])的前(N)个点,即(g[n]=x[n],0 leq n leq N-1),(v[n])为(x[n])的后(N)个点，即(v[n]=x[n+N],0leq nleq N-1),则:
[egin{aligned}
X[k]&=sum_{n=0}^{2N-1}x[n]W_{2N}^{kn}\
&=sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_{2N}^{kn}+sum_{n=N}^{2N-1}x[n]W_{2N}^{kn} \
&=sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_{2N}^{kn}+sum_{m=0}^{N-1}x[m+N]W_{2N}^{k(m+N)}\
&=sum_{n=0}^{N-1}g[n]W_{2N}^{kn}+(-1)^ksum_{n=0}^{N-1}v[n]W_{2N}^{kn}
end{aligned}
]
对其进行频域抽取
[X[2r]=sum_{n=0}^{N-1}g[n]W_{2N}^{2rn}+sum_{n=0}^{N-1}v[n]W_{2N}^{2rn}=G[k]+V[k],0leq r leq N-1
]
[X[2r+1]=sum_{n=0}^{N-1}g[n]W_{2N}^{(2r+1)n}-sum_{n=0}^{N-1}v[n]W_{2N}^{(2r+1)n}=W_{2N}^{n}(G[k]-V[k])
]
该算法也将(2N)点的(DFT)降为了2个(N)点的(DFT)。
将上面时域抽取的实现框图中所有的(x[n])换成(X[k]),然后所有箭头反向，即输入变输出，输出变输入，得到的框图就是频域抽取实现的框图。