16 Z变换

Z变换

由于(DTFT)变换是有收敛条件的，并且其收敛条件比较严格，很多信号不能够满足条件，为了有效的分析信号，需要放宽收敛的条件，引入(Z)变换。

定义

已知序列的(DTFT)为

[X(e^{jw})=sum_{n=-infty}^{infty}x[n]e^{-jwn} ]

当序列(x[n])不满足收敛条件时，我们让(x[n])乘以(r^{-n})使它收敛

[sum_{n=-infty}^{infty}x[n]r^{-n}e^{-jwn} ]

令(z=re^{jw})得到

[X(z)=sum_{n=-infty}^{infty}x[n]z^{-n} ]

对于所有的(z)上式不一定收敛，所以(Z)变换是有其收敛域，所以在对一个信号进行(Z)变换时，一定要加上它的收敛域，因为对于一些不同的信号，它们的(Z)变换相同，但是它们的收敛域不同。仅仅由(Z)变换的表达式并不能完全的确定原信号，要加上它的收敛域才能完全的确定原信号。

例:求序列(x[n]=alpha^nmu[n])的(Z)变换。
解:

[X(z)=sum_{n=0}^{infty}alpha^nz^{-n}=frac{1}{1-alpha z^{-1}} ]

要使上式收敛，则必须满足(vertalpha z^{-1}vert<1),即收敛域为(vert zvert>vert alphavert)。
所以序列(x[n]=alpha^nmu[n])的(Z)变换为

[X(z)=frac{1}{1-alpha z^{-1}},vert zvert>vert alphavert ]

例:求序列(x[n]=-alpha^nmu[-n-1])的(Z)变换。
解:

[X(z)=sum_{n=-infty}^{-1}-alpha^nz^{-n}=-sum_{m=1}^{infty}(alpha^{-1}z)^{m}=-frac{alpha^{-1}z}{1-alpha^{-1}z}=frac{1}{1-alpha z^{-1}} ]

要使上式收敛，则需要满足(vertalpha^{-1}zvert<1),即收敛域为(vert zvert < vert alpha vert)
所以序列(x[n]=-alpha^nmu[-n-1])的(Z)变换为

[X(z)=frac{1}{1-alpha z^{-1}},vert zvert < vert alpha vert ]

由上面两例可知，序列(x[n]=alpha^nmu[n])的(Z)变换的表达式与序列(x[n]=-alpha^nmu[-n-1])的(Z)变换的表达式是一样的，但是它们的收敛域是完全不一样的，如果只给出其(Z)变换的表达式，是不能判断其原信号是什么的。

(Z)变换的性质

设序列(x[n])的(Z)变换为(X(z)),其收敛域为(R_{x-}<vert zvert <R_{x+}),序列(w[n])的(Z)变换为(W(z)),其收敛域为(R_{w-}<vert zvert <R_{w+})。

线性性质

设(y[n]=alpha x[n]+eta w[n]),则其(Z)变换为

[egin{aligned} Y(z)&=sum_{n=-infty}^{infty}(alpha x[n]+eta w[n])z^{-n}\ &=alphasum_{n=-infty}^{infty}x[n]z^{-n}+etasum_{n=-infty}^{infty}w[n]z^{-n}\ &=alpha X(z)+eta W(z) end{aligned} ]

其收敛域为$$max{R_{x-},R_{w-}}<vert zvert <min{R_{x+},R_{w+}}$$

时移性质

序列(y[n]=x[n-n_0])的(Z)变换为

[egin{aligned} Y(z)&=sum_{n=-infty}^{infty}x[n-n_0]z^{-n}\ &xrightarrow{m=n-n_0}z^{-n_0}sum_{m=-infty}^{infty}x[m]z^{-m}\ &=z^{-n_0}X(z) end{aligned} ]

除了其收敛域可能包含(0)或者(infty),与原收敛域相同。

乘以指数序列

序列(y[n]=alpha^nx[n])的(Z)变换为

[egin{aligned} Y(z)&=sum_{n=-infty}^{infty}alpha^nx[n]z^{-n}\ &=sum_{n=-infty}^{infty}x[n](zalpha^{-1})^{-n}\ &=X(frac{z}{alpha}) end{aligned} ]

其收敛域为(vert alpha vert R_{x-}< vert zvert < vert alpha vert R_{x+})

反褶

序列(y[n]=x[-n])的(Z)变换为

[egin{aligned} Y(z)&=sum_{n=-infty}^{infty}x[-n]z^{-n}\ &xrightarrow{m=-n}sum_{m=-infty}^{infty}x[m](frac{1}{z})^{-n}\ &=X(frac{1}{z}) end{aligned} ]

其收敛域为(cfrac{1}{R_{x+}}<vert zvert < cfrac{1}{R_{x-}})

共轭

序列(y[n]=x^{*}[n])的(Z)变换为

[egin{aligned} Y(z)&=sum_{n=-infty}^{infty}x^{*}[n]z^{-n}\ &=(sum_{n=-infty}^{infty}x[n](z^{*})^{-n})^{*}\ &=X^{*}(z^{*}) end{aligned} ]

其收敛域未发生改变，因为(vert zvert = vert z^{*}vert)

时域微分

由于

[X(z)=sum_{n=-infty}^{infty}x[n]z^{-n} ]

所以

[frac{dX(z)}{dz}=-sum_{n=-infty}^{infty}nx[n]z^{-n-1}Rightarrow-zfrac{dX(z)}{dz}=sum_{n=-infty}^{infty}nx[n]z^{-n} ]

所以序列(y[n]=nx[n])的(Z)变换为

[Y(z)=-zfrac{dX(z)}{dz} ]

其收敛域可能去掉(0)或者(infty)，其余不变。

卷积

序列(y[n]=x[n]*w[n])的(Z)变换为

[egin{aligned} Y(z)&=sum_{n=-infty}^{infty}sum_{m=-infty}^{infty}x[m]w[n-m]z^{-n}\ &=sum_{m=-infty}^{infty}x[m]sum_{n=-infty}^{infty}w[n-m]z^{-n}\ &xrightarrow{l=n-m}sum_{m=-infty}^{infty}x[m]z^{-m}sum_{l=-infty}^{infty}w[l]z^{-l}\ &=X(z)Y(z) end{aligned} ]

其收敛域为

[max{R_{x-},R_{w-}}<vert zvert <min{R_{x+},R_{w+}} ]

有时(X(z))与(W(z))的零极点可能会互相抵消，所以收敛域可能会比这个大。