前缀和与差分
一维前缀和
1、用途
(O(1))区间查询
2、原理
设(S[n])为数列(a)的前(n)项和，那么(a[l:r])的和为(S[r]-S[l-1](1le lle rle n))。
转移方程：(S[i]=S[i-1]+a[i])
3、复杂度
预处理：(O(n))
查询：(O(1))
4、模板
for (int i = 1; i <= n; ++i) S[i] = S[i - 1] + a[i]; //build
cout << S[r] - S[l - 1] << endl; //query
5、备注
①下标一定从1开始。
二维前缀和
1、用途
(O(1))查询子矩阵和
2、原理
设以((1,1),(i,j))为主对角线两个端点的子矩阵的元素和为(S[i][j])。那么以((x_1,y_1),(x_2,y_2))为主对角线两个端点的子矩阵和为(S[x_2][y_2]-S[x_1-1][y_2]-S[x2][y_1-1]+S[x_1-1][y_1-1])，其中(1le x_1le x_2le i,1le y_1le y_2le j)。
转移方程：(S[i][j]=S[i-1][j]+S[i][j-1]-S[i-1][j-1]+a[i][j])
用图表示比较直观。
假设我们要求红色部分的和。
那么我们可以先计算出整个绿色区域的和。
之后减去不必要的部分，这里用黄色表示。
但是注意到灰色部分减去了两次，因此加上一次。这就是查询的原理。
转移方程也类似。
3、复杂度
预处理：(O(mn))
查询：(O(1))
4、模板
for (int i = 1; i <= n; ++i) //build
for (int j = 1; j <= m; ++j)
S[i][j] = S[i - 1][j] + S[i][j - 1] - S[i - 1][j - 1] + a[i][j];
cout << S[x2][y2] - S[x1 - 1][y2] - S[x2][y1 - 1] + S[x1 - 1][x1 - 1] << endl; //query
5、备注
①下标一定从1开始。
一维差分
1、用途
区间修改，区间查询
2、原理
假设对(a[l:r])同时进行(+d(din mathbb R))操作，观察到(forall iin (l,r],a[i]-a[i-1])不变，仅有(a[l]-a[l-1])相比原来的值多(d)，并且(a[r+1]-a[r])相比原来的值少(d)。
于是定义差分数组(dif[i])，差分数组的前缀和为(sum[i])，修改后的元素大小为(a'[i]=a[i]+sum[i])。
(sum[i])可以看成(a[i])的增量。
由(a'[l]=a[l]+sum[l],a'[l-1]=a[l-1]+sum[l-1])，两式相减得(dif[l]=d)。同理(dif[r+1]=-d)。
于是([l,r])区间修改可以看成(dif[l]+=d,dif[r+1]-=d)。查询时只要对(dif)求前缀和，再加上原来的值即可。
画图比证明直观。图与下面二维差分类似，就不另画了。
3、复杂度
区间修改：(O(1))
区间查询：(O(n))
4、模板
dif[l] += d, dif[r + 1] -= d; //build
for (int i = 1, s = 0; i <= n; ++i)
s += dif[i], cout << a[i] + s << endl; //query
5、备注
①下标一定从1开始。
②差分数组要比给的数据上限开得更大一点。
③由于区间查询复杂度比较高，一般在多修改少查询的情况下使用。
④只支持简单的加减修改操作。
二维差分
1、用途
子矩阵修改，子矩阵查询
2、原理
类比一维差分定义二维差分数组(dif[i][j])，以差分数组的二维前缀和表示((i,j))的增量。
考察修改差分数组的值对原数组的贡献。若(dif[i][j]+=d)，则对于(forall x,y)，若满足(xge i)并且(yge j)，则((x,y))处的值就都要加上(d)。
以图为例，假设表格表示差分数组。现在用红色表示在该格处进行修改。
那么该格对于差分数组的贡献就是所有绿色的格子。
如果我们要修改如下图所示的红色区域：
那么与二维前缀和类似，我们可以先修改绿色的区域，再减去两个黄色的区域，最后补上减去两次的灰色区域。每次修改都在色块的左上角方格进行。
3、复杂度
子矩阵修改：(O(1))
子矩阵查询：(O(mn))
4、模板
dif[x1][y1] += d, dif[x2 + 1][y1] -= d, dif[x1][y2 + 2] -= d, dif[x2 + 1][y2 + 1] += d; //build
for (int i = 1; i <= n; ++i) //query
for (int j = 1; j <= m; ++j)
{
dif[i][j] += dif[i - 1][j] + dif[i][j - 1] - dif[i - 1][j - 1];
cout << a[i][j] + dif[i][j] << endl;
}
5、备注
①下标一定从1开始。
②差分数组要比给的数据上限开得更大一点。
③由于子矩阵查询复杂度比较高，一般在多修改少查询的情况下使用。
④只支持简单的加减修改操作。