数论概论——第一章

今天《数论概论》到了。决定每天看一章，搞懂一章，两个月完全消灭。

第一章——什么是数论、

说也奇怪，我莫名其妙就开始研究数论了，这也许是一个好的开始吧，既然这样，为何不继续研究呢。

每本书的第一章似乎都是那么的简单，其实也未必简单啦。

第一章介绍了一些常见的数，

奇数，

偶数，

平方数，

立方数，

素数，

合数，

与1同余的数

与3同余的数

完全数

斐波那契数

等等

其实我又想起来什么回文数，水仙花数，完数之类的，感觉挺不错的。

提到了几个典型的数论问题，

提及了勾股数组（毕达哥拉斯三元组）

孪生素数，

形如N^2+1 的数

这里讲到了一个高斯证明1+2......+100的故事

高斯用的方法是

两个对角线+ 主对角线 = 正方形

习题1.1 题目居然是错的,坑爹啊，题目应该是既是平方数又是三角数才对。

事实证明存在无穷个三角平方数。

下面是在以为老师的博客中看到的。   讲到了佩尔方程，其实我不了解这个方程。

先回顾一下笨拙的解法。

    数学中讲求数形结合。有些数可用图形来表示，如：三角数指的是可排列成三角形的数，前几项是1，3，6，10，15，21，28，36。平方数指的是可排列成正方形的数，前几项是1，4，16，25，36。容易发现1和36同在两列数中。请问这样的三角平方数有多少个呢？

    以下的思路是自然的。设平方数为，三角数为，需证明有无数个整数解。
    好像无路可走了，尝试着将等式变形。该式可化为，即。

    突然间，豁然开朗。若设，，得，这不就是佩尔方程么？此方程显然有解，即，即。对该式两边平方，即，即，这样得到一组新的解。可继续对等式两边进行自乘，得到新的解，这一过程可无休无止地进行下去。
   
    佩尔方程，我是见过多次的。在很多极其相似的初等数论教材中，我都看到：形如的方程叫作佩尔方程，其中是固定的正整数且不是完全平方数。学了佩尔方程，原以为不过屠龙术而已，在此终于用上了一回，不亦快哉！

   

最近想到的简证：

    若第个三角数为平方数，那么第个三角数也为平方数。而1是第一个三角平方数，所以存在无数个三角平方数。

1.2 

关于1+3+5+...2n-1的问题，很显然=n^2

几何证明；

两张图片，两种思路

1.3

关于形如（p,p+2,p+4）素数三元组的问题

显然只存在一个(3,5,7)

 

证明如下：

假设p mod 3=1

则(p+2) mod 3=0 不满足素数条件

假设p mod 3=2

则(p+4) mod 3=0不满足素数条件

除非本身p+2或p+4或p就是3

那么就是(3,5,7)这个情况。

 

也就是说三个数中必定有一个是3的倍数。

 

1.4

不知道如何证明，看了别人的博客知道一点，

关于是否有无穷多个素数形如n^2-a的问题

很显然如果a是平方数，那么根据平方差公式不可能有无穷多个素数，

 

1.5

习题1.5

关于1+2+..+n公式的推导

他的想法是S=(1+n)+(2+(n-1))+(3+(n-2))...=(n+1)+(n+1)+..+(n+1)

问对于n，这么推导后有多少项n+1？

显然如果是偶数，可以匹配完全，那么项数就是n/2。

如果是奇数，会留一个，这个数是(n+1)/2。剩下的n+1有(n-1)/2个，那么再加上这半个，那么就是n/2个。

那么不管是奇数还是偶数，结果都是n/2个。

那么结果就是n(n+1)/2，满足我们之前得到的公式。

 

要先分奇偶情况分析，但是最后会知道公式的正确性。