一、离散分布
离散分布：给你一个概率分布，是离散的，比如[1/2, 1/3, 1/12, 1/12]，代表某个变量属于事件A的概率为1/2， 属于事件B的概率为1/3，属于事件C的概率为1/12，属于事件D的概率为1/12。
离散分布的随机变量的取样问题：
一个随机事件包含四种情况，每种情况发生的概率分别为： 1/2, 1/3, 1/12, 1/12，问怎么用产生符合这个概率的采样方法。
二、时间复杂度为o(N)的采样算法
首先将其概率分布按其概率对应到线段上，像下图这样：
接着产生0~1之间的一个随机数，然后看起对应到线段的的哪一段，就产生一个采样事件。比如落在0~ 1/2之间就是事件A，落在1/2~5/6之间就是事件B，落在5/6~11/12之间就是事件C，落在11/12~1之间就是事件D。
构建线段的时间复杂度为o(N)，
如果顺序查找线段的话，查找时间复杂度为O(N)，
如果二分查找的话，查找的时间复杂度为O(logN)。
三、时间复杂度O(1)的采样算法---Alias
（1）alias分为两步
- 做表
- 根据表采样
（2）做表
将概率分布的每个概率乘上N，画出柱状图。N为事件数量。
其总面积为N，可以看出某些位置面积大于1某些位置的面积小于1，
将面积大于1的事件多出的面积补充到面积小于1对应的事件中，以确保每一个小方格的面积为1，同时，保证每一方格至多存储两个事件，这样我们就能看到一个1*N的矩形啦。
表里面有两个数组，一个数组存储的是事件i占第i列矩形的面积的比例，即
另一个数组存储第i列中不是事件i的另一个事件的编号，即
。
做表的时间复杂度是o(N)。
（3）采样
产生两个随机数，
第一个产生一个1~N 之间的整数 i，决定落在哪一列。
第二个产生一个0~1之间的随机数，判断其与Prab[i]大小，
如果小于Prab[i]，则采样 i，（表示若其小于事件i占第i列矩形的面积的比例，则表示接受事件i）
如果大于Prab[i]，则采样Alias[i]（否则，接收第i列中不是事件i的另一个事件。）
【这种方式采样的时间复杂度为 o(1) ，且对应事件i的概率，完全对应原来的概率分布。】
计算：选择第一列的概率为1/4，则选择第一列的蓝色部分的概率为1/4*2/3 = 1/6，蓝色部分还有第三、第四列，则蓝色（事件A）的总概率为1/4 * 2/3 * 3 = 1/2。【第一次产生随机数的概率为1/4，第二次产生随机数选择蓝色部分的概率为1/4 *(2/3*3) = 1/2】。--------对应原来的概率分布。
四、代码
1、制作表：（create_alias_table函数，O(N)）
（1）概率分布 area_ratio 的每个概率乘上N
（2）small,large分别存放小于1和大于1的事件下标。
（3）每次从small,large中各取一个，将大的补充到小的之中，小的出队列，再看大的减去补给之后，如果大于1，继续放入large中，如果等于1，则也出去，如果小于1则放入small中。
（4）获取accept、alias
accept存放第i列对应的事件i矩形的面积百分比;
alias存放第i列不是事件i的另外一个事件的标号;
上例中accept=[2/3,1,1/3,1/3],alias=[2,0,1,1],这里alias[1]的0是默认值,也可默认置为-1避免和事件0冲突；
2、采样：（alias_sample函数,O(1)）
随机采样1~N 之间的整数i，决定落在哪一列。
随机采样0~1之间的一个概率值，
如果小于accept[i]，则采样i，
如果大于accept[i]，则采样alias[i]；
import numpy as np def create_alias_table(area_ratio): """ area_ratio[i]代表事件i出现的概率 :param area_ratio: sum(area_ratio)=1 :return: accept,alias """ N = len(area_ratio) accept, alias = [0] * N, [0] * N small, large = [], []
###------（1）概率 * N ----- area_ratio_ = np.array(area_ratio) * N
###------（2）获取small 、large ----- for i, prob in enumerate(area_ratio_): if prob < 1.0: small.append(i) else: large.append(i)
###------（3）修改柱状图 ----- （4）获取accept和alias ----- while small and large: small_idx, large_idx = small.pop(), large.pop() accept[small_idx] = area_ratio_[small_idx] alias[small_idx] = large_idx area_ratio_[large_idx] = area_ratio_[large_idx] - (1 - area_ratio_[small_idx]) if area_ratio_[large_idx] < 1.0: small.append(large_idx) else: large.append(large_idx)
while large: large_idx = large.pop() accept[large_idx] = 1 while small: small_idx = small.pop() accept[small_idx] = 1 return accept, alias def alias_sample(accept, alias): """ :param accept: :param alias: :return: sample index """ N = len(accept) i = int(np.random.random()*N) r = np.random.random() if r < accept[i]: return i else: return alias[i]
参考文献：