算法51----斐波那契【动态规划】

一、题目：斐波那契算法

给定整数N，返回斐波那契数列的第N项。

递归代码：时间*O（2**N）

def Fal(N):
    if N <= 0:
        return 0
    if N <= 2:
        return 1
    return Fal(N-1) + Fal(N-2)

非递归代码：动态规划：时间O（N)，一个一个加和

def Fal(N):
    if N <= 0:
        return 0
    if N <= 2:
        return 1
    stack = [1,1]
    for i in range(3,N+1):
        stack.append(stack[-1]+stack[-2])
    return stack[-1]

非递归代码：时间O（logN)，求一个矩阵N次方的值。

斐波那契可转化成矩阵N次方的问题。

 

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二、题目：爬楼梯：动态规划：时间O（N)

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

 

 思路：斐波那契，f(1) = 1,f(2)=2，f(n) = f(n-1)+f(n-2)。

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三、矩形覆盖

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

思路：

既然是长条形的，那么从后向前，最后一个矩形2*2的，只有两种情况：      

第一种是最后是由一个2*(n-1)的矩形加上一个竖着的2*1的矩形　　

另一种是由一个2*(n-2)的矩形，加上两个横着的2*1的矩形　　

因此我们可以得出，　　

第2*n个矩形的覆盖方法等于第2*(n-1)加上第2*(n-2)的方法。

代码：

    def rectCover(self, number):
        # write code here
        if number == 0:
            return 0
        elif number <= 2:
            return number
        dp = [0] * (number+1)
        dp[1] , dp[2] = 1 , 2
        for i in range(3,number+1):
            dp[i] = dp[i-2] + dp[i-1]
        return dp[-1]