完全剩余系

1. 带余数的除法

    设a，b∈Z，a≠0，那么，一定存在唯一的一对q，r∈Z，使得 b＝qa＋r， 0≤r<|a|

2. 同余

    设0≠m∈Z，a，b∈Z，如果m|b－a，就称b同余于a，记做b≡a（mod m

    由此可见，同余也就是带余数除法的另一种表示方式b-a=mr, 即b=mr+a

3. 同余类（剩余类）

    设0≠m∈Z，Z中的全体元素可以按对模m是否同余分为若干个两两不相交的等价类，以ã或a mod m表示Z中所有同余于a模m的元素组成的等价类，它称为模m的同余类或剩余类

4. 完全剩余系

    在模m的每一个剩余类中取定一个元素作为代表，这样得到的R(m)个数称为是模m的一个完全剩余系

5. 最小完全剩余系

    模m的完全剩余系的一般形式是a_j=j+q_jm, j=0,1,2,...,m-1, 其中q_j∈Z任意取定，当q_j为0时，则可得到一个最小完全剩余系{0,1,2,...,m-1}

那么，完全剩余系有什么用呢？一个简单的应用，是用来实现洗牌，只要能得到一个乱序的完全剩余系，那么洗牌将变得很容易。要想得到一个乱序的剩余类，则可参考下面的定理：

    对于任意的n∈Z，当x遍历模m的一个完全剩余系时，x＋n也遍历模m的一个完全剩余系

用C＃实现

public class ResidualTheorem
    {
        protected List<int> residualSeries;
        protected int extra;
        protected int baseNum;
        protected int lastBaseNum;
        protected int lastExtra;

        public ResidualTheorem(int len)
        {
            lastBaseNum = Assembly.GetCallingAssembly().GetHashCode();
            extra = 1;
            lastExtra = 1;
            residualSeries = new List<int>();
            for (int i = 0; i < len; i++)
            {
                residualSeries.Add(i);
            }
        }

        public void Shuffle()
        {
            Random rdm = new Random();
            baseNum = lastBaseNum + 1;
            if (baseNum <= 0) baseNum = 1;
            extra = lastExtra + 1;
            if (extra <= 0) extra = 1;

            int[] indexes = Randomized(residualSeries.Count);
            lastExtra = extra;

            List<int> tmp = new List<int>();
            foreach (int index in indexes)
            {
                tmp.Add(residualSeries[index]);
            }

            residualSeries = tmp;
            extra = rdm.Next(1, 1000);
        }

        private int[] Randomized(int count)
        {
            int[] indexes = new int[count];
            for (int i = 0; i < count; i++)
            {
                indexes[i] = EquationVendor(i) % count;
            }

            return indexes;
        }

        private int EquationVendor(int index)
        {
            return (baseNum * index + extra);
        }

        public override string ToString()
        {
            if (residualSeries == null || residualSeries.Count == 0)
            {
                return base.ToString();
            }
            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            foreach (int item in residualSeries)
            {
                if (sb.Length > 0)
                    sb.Append("=>");
                sb.Append(item);
            }
            return sb.ToString();
        }
    }