KMP算法分析

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一、引言

主串（被扫描的串）：S=，i 为主串下标指针，指示每回合匹配过程中主串的当前被比较字符；

模式串（需要在主串中寻找的串）：P=，j 为模式串下标指针，指示每回合匹配过程中模式串的当前被比较字符。

字符串匹配：在主串中扫描与模式串完全相同的部分，并返回其在主串中的位置，这里的起始扫描位置默认为主串的第一个字符，即默认pos=1，其他情况类似。

朴素匹配算法：在模式串与主串的匹配过程中，一共要进行n=Length(S)回合的匹配，每一回合分别从主串的起始字符、、...、开始进行。在具体某一回合的匹配过程中，每当模式串P中的某一字符与主串S中的被比较字符不相等，主串S的指针 i 都必须回溯到此回合起始字符的下一个位置，模式串P的指针 j 回到模式串串首，重新进行下一回合匹配。算法最坏情况下的时间复杂度为O(m*n)。这里不再详述。

KMP匹配算法：KMP是一个高效的字符串匹配算法，它是由三位计算机学者 D.E.Knuth 与 V.R.Pratt 和 J.H.Morris 同时发现的，因此人们通常简称它为 KMP 算法。在KMP匹配过程中，每当模式串P中的某一字符与主串S中的被比较字符不相等，主串S的指针 i 不需要回溯，而只要将P串“向右滑动”到一定位置，继续进行下一回合的比较。KMP算法的时间复杂度为O(m+n)。

下面主要理解KMP匹配算法。

1)先由KMP算法的主要思想得到next函数的定义

2)然后根据next函数定义求取next函数值

3)最后根据next函数值进行主串、模式串匹配

4)文章最后，根据next函数定义一眼看出来next函数值（有待考证）。

二、定义next[j]

我们要解决的关键问题是：当本回合匹配过程中出现失配时，下回合匹配时模式串“向右滑动”的可行距离有多远，也即：本回合匹配过程中，主串S的第 i 个字符与模式串P中的第j个字符失配时，下回合匹配时主串中的第i个字符应与模式串中的哪个字符进行比较(设为next[j]，因为是“向右滑动”，故next[j]<j)。

假设有以下主串和模式串：

i:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16
S:	a	c	a	b	a	a	b	a	a	b	c	a	c	a	a
P:	a	b	a	a	b	c	a	c
j:	1	2	3	4	5	6	7	8

a)。。。之前匹配步骤

b)在经过若干回合匹配之后，两字符串状态如下：

i:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16
S:	a	c	a	b	a	a	b	a	a	b	c	a	c	a	a
P:		a	b	a	a	b	c	a	c
j:		1	2	3	4	5	6	7	8

c)此时主串的第i(i=2)个字符与模式串的第1个字符不等，主串的指针i不回溯，从而保持不变，由于next[j]<j，模式串指针j向右移动至位置next[1]= 0，情形如下。考虑定义：next[j] =next[1]= 0。(位置"j=0"是假想的，在后面我们将会发现这样处理的好处)

i:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16
S:	a	c	a	b	a	a	b	a	a	b	c	a	c	a	a
P:			a	b	a	a	b	c	a	c
j:		0	1	2	3	4	5	6	7	8

d)令i和j均自增，继续进行比较，情形如下：

i:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16
S:	a	c	a	b	a	a	b	a	a	b	c	a	c	a	a
P:			a	b	a	a	b	c	a	c
j:			1	2	3	4	5	6	7	8

e)此时字符相等，主串的指针i和模式串的指针j均自增1，继续匹配结果如下：

i:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16
S:	a	c	a	b	a	a	b	a	a	b	c	a	c	a	a
P:			a	b	a	a	b	c	a	c
j:			1	2	3	4	5	6	7	8

f)。。。如此重复e)

g)当i=8，j=6时，主串的与模式串当前字符不相等。情形如下：

i:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16
S:	a	c	a	b	a	a	b	a	a	b	c	a	c	a	a
P:			a	b	a	a	b	c	a	c
j:			1	2	3	4	5	6	7	8

此时，主串的指针i不回溯，那么模式串将向右滑动至什么位置呢？

我们假设next[j]=k(k<j)。

①本回合，与失配(i=8,j=6)，而在失配之前有“部分匹配”，故有：，又因为k<j，从而的部分串满足：；

②下回合，因为要保证从模式串的k位置处字符开始比较而不回溯，那么必须保证模式串k位置之前的部分串满足：，其中k取最大的可能值；

由①式、②式右半边相等可知，k的取值满足下面的判别等式：，其中k取该解集中的尽可能大值。考虑定义：next[j] = Max{k|1<k<j且}。

上式也即：j位置之前的P尾串 = 1位置之后的P头串，如图中：，k=3，反映了模式串在j位置之前的P尾串 与1位置之后的 P头串的重复程度。

f)模式串向右滑动至位置next[j]=3，情形如下：

i:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16
S:	a	c	a	b	a	a	b	a	a	b	c	a	c	a	a
P:						a	b	a	a	b	c	a	c
j:						1	2	3	4	5	6	7	8

h)。。。后续匹配

根据以上讨论，对k(next[j])考虑如下定义：

(1)next[j] = 0（j=1）；

(2)next[j] = Max{k|1<k<j且}（j!=1且集合有解）；

(3)next[j] = 1（j!=1且集合无解）；

三、求取next[j]

根据next[j]的定义可知，此函数的值取决于模式串的本身以及模式串的失配位置。此时把求解next[j]问题看成是一个模式串自匹配问题，即主串和模式串都是P，从主串P的开始与模式串P的开始进行匹配：

当j=1时，由定义得：next[1]=0；

当j!=1时，我们思路是：按照i的值由小及大，依次求next[2]、next[3]、...next[m]，m为模式串的维数。现在假设已知next[j]=k，且next[t](t<j)均已求得。如果求得next[j+1]与next[j]的关系，那么所有的next函数值均可已被求出。

此时，由next[j]的定义可知：，且k为最大值，下面分两种情况讨论：

(a)如果，结合}可以得到，又不存在k'>k满足该式，由next函数的定义可知：next[j+1]=k+1，也即：next[j+1]=next[j]+1。这个式子的意味着，该情况下主串字符指针(j+1)位置处的next[j+1]可以由当前j位置处的next[j]加1求得。(由于下标最小的next函数值next[1]=0是已知的，这使得按下标由小及大的顺序求解所有next函数值成为可能，这种情况对应着下面伪代码的 if 语句部分)

(b)如果，将模式串向右滑动至k'(k'=next[k]<k<j)位置，使得主串的字符与模式串的字符比较。

①如果此时(k'<k)，结合，则有，由next函数的定义该式等价于：next[j+1]=k'+1=next[k]+1(观察下标k<j，由于next[t](t<=j)已知，则一定可以求出next[j+1])。

②如果此时，则将模式串继续向右滑动，直至和模式串的某个字符匹配成功，此时(k_lucky<k)，结合，则有，由next函数的定义该式等价于：next[j+1]=k_lucky+1=next[...next[k]...]+1(在几次连续的滑动过程中，每次迭代k'=next[k]，k'<k<j恒成立，由于next[t](t<=j)可知已知，则一定可以求出next[j+1])。

①和②的讨论说明，无论经过多少次滑动，只要主串的最终与模式串字符匹配成功，则主串字符指针(j+1)位置处的next[j+1]一定可以由某一个next[t](t<j)加1求得。

③尽管向右滑动，很不幸找不到k'使得，这相当于匹配过程中无解，此时由定义知next[j+1]=1。

故伪代码如下：

void get_next(SString P,  int &next[]){
    //求模式串P的next函数值并存入数组next中，i、j分别代表主串、模式串的下标
    i = 1; j = 0; next[1] = 0;
    while(i < P[0]){
        if( j ==0 || P[i] == P[j] ) { ++i; ++j; next[i] = j; }//每当自增i和j，得到一个新的next[i]
        else j = next[j];//模式串向右移动
    }
}

有以下模式串：

i:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16
P:	a	c	a	b	a	a	b	a	a	b	c	a	c	a	a

算法的前几次迭代过程列举如下：

a)执行if，++i，++j，进入初始状态(i=2,j=1)，next[2]=1：

i:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16
S:	a	c	a	b	a	a	b	a	a	b	c	a	c	a	a
P:		a	c	a	b	a	a	b	a	a	b	c	a	c	a	a
j:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16

b)执行else，模式串向右滑动(i=2,j=0)：

i:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16
S:	a	c	a	b	a	a	b	a	a	b	c	a	c	a	a
P:			a	c	a	b	a	a	b	a	a	b	c	a	c	a	a
j:		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16

c)j==0，执行if，++i，++j(i=3,j=1)，next[3]=1：

i:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16
S:	a	c	a	b	a	a	b	a	a	b	c	a	c	a	a
P:			a	c	a	b	a	a	b	a	a	b	c	a	c	a	a
j:		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16

d)，执行if，++i，++j(i=4,j=2)：

i:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16
S:	a	c	a	b	a	a	b	a	a	b	c	a	c	a	a
P:			a	c	a	b	a	a	b	a	a	b	c	a	c	a	a
j:		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16

以此类推。。。

四、改进的next函数值算法

这样的改进已经是很不错了，但算法还可以改进，注意到下面的匹配情况：

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
S	a	a	a	b	a	a	a	a	b
P	a	a	a	a	b
j	1	2	3	4	5
next[j]	0	1	2	3	4
nextval[j]	0	0	0	0	4

模式串P中的和主串S中的失配时，P向右滑动至next[4]=3位置，此时的比较还是会失配，然后P向右滑动至next[3]=2位置，此时的比较还是会失配，P向右滑动至next[2]=1位置。如果我们能够修正next[4]的值为1，使得出现类情况的时候，P能够一次性直接滑动到next[4]=1的位置，如此便可以消除这样的冗余比较。

下面对next的函数值进行修正：如果我们事先知道，上一次主串模式串字符相等 ，经过++i，++j，再一次得到，此时，i自增后的next[i]不取j，而是选取j的下一个状态next[j]（由于j<i恒成立，next[j]的值均为已知的），这相当于我们在求next函数值的时候，把这些冗余的比较进行预处理，如此就可以消除模式串与主串之间这样的多余比较。

稍加改进得到：

void get_nextval(SString P,  int &nextval[]){
    //求模式串P的next函数修正值并存入数组nextval
    i = 1; j = 0; nextval[1] = 0;
    while(i < P[0]){
        if(j == 0 || P[i] == P[j]){
            ++i; ++j;
            if(P[i]! = P[j]) nextval[i] = j;//下次比较不相等，nextval[i]取j
            else nextval[i] = nextval[j];//下次比较仍然相等，nextval[i]取j的下一个nextval[j]
        }
        else j=nextval[j];
    }
} 

五、KMP算法

求得next[j]的函数值之后，我们就可以根据KMP算法进行字符串匹配了。

在匹配过程中，如果，则i和j分别增1；否则，i不变，j移动到next[j]的位置继续比较，以此类推，直至下面两种可能：1)j退至某个next值(next[next[…next[j]...]])时字符比较相等，则指针各自增1，继续进行匹配；2)退到next[next[…next[j]...]]为0,此时需要将模式串向右滑动一个位置，即从主串的下一个字符起和模式串开始重新匹配。

KMP算法伪代码如下：

int Index_KMP(SString S, SString P, int pos){  
    //利用模式串P的next函数求P在主串S中第pos个字符之后的位置的KMP算法。
    //其中，P非空，1≤pos≤StrLength(S)。  
    i = pos; j = 1;  
    while(i <= S[0] && j <= P[0]){//S[0]以及P[0]代表字符串长  
        if(j == 0 || S[i] == P[j]) { ++i; ++j; }//继续比较后继字符
        else   j = next[j];//模式串象右滑动
    }  
    if(j > P[0])   return  i - P[0];//匹配成功  
    else   return  0;  
}//Index_KMP

以下主串和模式串的匹配过程如图所示：

i:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16
S:	a	c	a	b	a	a	b	a	a	b	c	a	c	a	a
P:	a	b	a	a	b	c	a	c
j:	1	2	3	4	5	6	7	8

六、直接看出next[j]函数值（这部分有待考证）

根据以上next[j]的定义：

(1)next[j] = 0（j=1）；

(2)next[j] = Max{k|1<k<j且}（j!=1且集合有解）；

(3)next[j] = 1（j!=1且集合无解）；

可以直接看出模式串的next函数值。这主要遵循2条规则：

a)如果上一个next[j]!=1，按照next[j] = Max{k|1<k<j且}的规则求解下一个next[j+1]的值；

b)如果上一个next[j]=1，由next[j]的求解算法知，此时主串的第j位与模式串的第1位对齐，比较这两位：如果不等，则主串的第j+1位与模式串的第1位再对齐，故next[j+1]=1；如果相等，则next[j+1]=Max{k|1<k<j且}

举例如下：

P	a	b	a	a	b	a	a	a	b	a
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
next[j]	0	1	1	2	2	3	4	5	2	3

由定义知next[1]=0；

由j!=1且集合无解知next[2]=1；

由于next[2]=1，此时i=2，j=1，令这两个字符对齐，发现这两个字符不相等，则next[3]=1；

由于next[3]=1，此时i=3，j=1，令这两个字符对齐，发现这两个字符相等，根据next[j+1]=Max{k|1<k<j且}=2，故next[4]=2；

P(1之后串头)	a	b	a	a	b	a	a	a	b	a
P(j之前串尾)	a	b	a	a	b	a	a	a	b	a
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
next[j]				2

由于有1个匹配，故next[5]=2；

P(1之后串头)	a	b	a	a	b	a	a	a	b	a
P(j之前串尾)	a	b	a	a	b	a	a	a	b	a
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
next[j]					2

由于有2个匹配，故next[6]=3；

P(1之后串头)	a	b	a	a	b	a	a	a	b	a
P(j之前串尾)	a	b	a	a	b	a	a	a	b	a
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
next[j]						3

。。。后续匹配

这个文章思路是我理解KMP的思路，内容可能显得比较啰嗦，但是很具体，希望对大家有所帮助。

第一次写文章，还请大家多多提意见。

参考文献：《数据结构》，严蔚敏著