求数组的子数组之和的最大值

一个有N个整数元素的一维数组(A[0],A[1],...,A[n-2],A[n-1])，这个数组当然有很多子数组，那么子数组之和的最大值是什么呢？

【解法一】：我们先明确题意。

　　1、题目说的子数组是连续的；

　　2、题目只需要求和，并不需要返回子数组的具体位置；

　　3、数组的元素是整数，所以数组可能包含有正整数、零、负整数；

举几个例子：

　　数组：[1, -2, 3, 5, -3, 2]应返回：8

　　数组：[0, -2, 3, 5, -1, 2]应返回：9

　　数组：[-9, -2, -3, -5, -3]应返回：-2，这也是最大子数组的和。

　　这个几个典型的输入能帮助我们测试算法的逻辑。在写具体算法前列出各种可能输入，也可以让应聘者有机会和面试者交流，明确题目的要求。例如：如果数组中全部是负数，怎么办？是返回0，还是最大的负数？　这是面试和闭卷考试不一样的地方，要抓住机会交流。

　　了解了题意之后，我们实验最直接的方法，记Sum[i,...,j]为数组A中第i个元素的第j个元素的和(其中0<=i<=j<n)，遍历所有可能的Sum[i,...j]，那么时间复杂度为O(N*N*N)：

 1 int MaxSum(int* A, int n)
 2 {
 3       int maxmum = -INF;
 4       int sum;
 5       for (int i = 0; i < n; i++)
 6       {
 7            for (int j = i; j < n; j++)
 8            {
 9                 for (int k = i; k<=j; k++)
10                 {
11                      sum += A[k];
12                 }
13                 if (sum > maxmum)
14                      maxmum = sum;
15            }
16       }
17       return maxmum;   
18 }

　　如果注意到Sum[i,...j] = Sum[i,...j-1] + A[j]，则可以将算法中的最后一个for循环省略，避免重复计算，从而使算法得以改进，改进后的算法如下，这时复杂度为O(N*N)：

int MaxSum (int* A, int n)
{
     int maxnum = -INF;
     int sum;
     for (int i = 0; i < n; i++)
     {
          sum = 0;
          for (int j = i; j < n; j++)
          {
               sum += A[j];
               if (sum > maxnum)
                    maxnum = sum;
          }
     }
     return maxnum;
}

　　能继续优化吗？

【解法二】：如果将所给数组(A[0],...,A[n-1])分为长度相等的两段数组(A[0],...,A[n/2-1])和(A[n/2],...A[n-1]),分别求出这两段数组各自的最大子段和，则原数组(A[0],...A[n-1])的最大子段和为以下三种情况的最大值：

　　1、(A[0],...A[n-1])的最大子段和与(A[0],...,A[n/2-1])的最大子段和相同；

　　2、(A[0],...A[n-1])的最大子段和与(A[n/2],...A[n-1])的最大子段和相同；

　　3、(A[0],...A[n-1])的最大子段跨过其中两个元素A[n/2-1]和A[n/2]；

　　第1和2两种情况事实上是问题规模减半的相同子问题，可以通过递归求得。

　　至于第3中情况，我们只要找到以A[n/2-1]结尾的和最大的一段数组之和s1 = (A[i],...A[n/2-1])(0 <= i < n/2-1)和以A[n/2]开始和最大的一段数组之和s2 = (A[n/2],...A[j])(n/2 <= j < n)。那么第3种情况的最大值为s1 + s2 = A[i]+...+A[n/2-1]+A[n/2]+...+A[j]，只须要对原数组进行一次遍历即可。

　　其实这是一种分治算法，每个问题都可分解成为两个问题规模减半的子问题，在加上一次遍历算法。该分治算法的时间复杂度满足典型的分治算法递归式，总的时间复杂度为T(N) = O(N*lgN)。

【解法三】：解法二中的分治算法已经将时间复杂度从O(N*N)降到了O(N*lgN)，应该说是一个不错的改进，但是否还可以进一步讲时间复杂度降低呢？答案是肯定的，从分治算法中得到提示：可以考虑数组的第一个元素A[0]，以及最大的一段数组(A[i],...A[j])跟A[0]之间的关系，有一下几种情况：

　　1、当0 = i = j时，元素A[0]本身构成和最大的一段；

　　2、当0 =i < j时，和最大的一段以A[0]开始；

　　3、当0 < i时，元素A[0]跟和最大的一段没有关系；

从上面三种情况可以看出，可以将一个大问题(N个元素数组)转化为一个较小的问题(n-1个元素的数组)。假设已经知道(A[1],...,A[n-1])中和最大的一段数组之和为All[1],并且已经知道(A[1],...,A[n-1])中包含A[1]的和最大的一段数组为Start[1]。那么，根据上述分析的三种情况，不难看出(A[0],...,A[n-1])中问题的解All[0]是三种情况的最大值max{A[0],A[0]+Start[1],All[1]}。通过这样的分析，可以看出这个问题符合无后效性，可以使用动态规划的方法来解决。

 1 int max (int x, int y)                               // 返回x,y中较大值
 2 {
 3      return (x > y) ? x : y;
 4 }
 5 
 6 int MaxSum (int* A, int n)
 7 {
 8      Start[n-1] = A[n-1];
 9      All[n-1] = A[n-1];
10      for (i = n-2; i >= 0; i--)
11      {
12           Start[i] = max(A[i], A[i] + Start[i+1]);  // 从数组末尾往前遍历直到数组首
13           All[i] = max(Start[i], All[i+1]);
14      }
15      return All[0];                                 // 遍历完数组，All[0]中存放着结果
16 }

新方法的时间复杂度已经降到O(N)了。

但一个新的问题出现了：我们额外申请了两个数组All[]、Start[]，能否在空间方面也节省一点呢？

观察这两个递推式：

1 Start[i] = max{A[i], Start[i+1] + A[i]};
2 All[i] = max{Start[i], All[i+1]};

第一个递推式：Start[i] = max{A[i], Start[i+1] + A[i]}。如果Start[i+1] < 0，则Start[i] = A[i]。而且，在这两个递推式中，其实都只须要用两个变量就可以了。Start[k+1]只有在计算Start[k]时使用，而All[k+1]也只有在计算All[k]时使用。所以程序可以进一步改进一下，只需O(1)的空间就足够了。

 1 int  max (int x, int y)
 2 {
 3      return (x > y) ? x : y;
 4 }
 5 
 6 int MaxSum (int* A, int n)
 7 {   // 要做参数检查
 8      nStart = A[n-1];
 9      nAll = A[n-1];
10      for (i = n-2; i >= 0; i--)
11      {
12           nStart = max(A[i], nStart + A[i]);
13           nAll = max(nStart, nAll);
14      }
15      return nAll;
16 }

改进的算法不仅节省了空间，而且只有寥寥几行，却达到了很高的效率。我们还可以换一个写法：

 1 int MaxSum (int* A, int n)
 2 {   // 要做参数检查
 3        nStart = A[n-1];
 4        nAll = A[n-1];
 5        for (i = n-2; i >= 0; i--)
 6        {
 7             if (nStart < 0)
 8                 nStart = 0;       // 检查全部是负数，如何？
 9             nStart += A[i];
10             if (nStart > nAll)
11                 nAll = nStart;
12        }
13        return nAll;
14 }

 

 

分类: 算法分析

标签: 面试, 子数组之和的最大值

黄聪：二、如何通过URL获取其他网页源代码内容（火狐插件扩展开发教程）

为什么火狐没有一个独立的扩展开发工具啊！！！（估计有，但是我找不到……哪位大神知道的麻烦告诉我，谢谢啦）

不断的修改程序、压缩、修改后缀名、安装、重启……

调试一次起码要10秒钟……好坑爹……算了，吐槽完毕，开始今天的笔记……

------------------------------   我万恶的分割线  -------------------------------------

一、配置程序

这里我就不再解释火狐扩展中每个文件的作用和功能了，想了解的请移步《黄聪：一、如何创建一个状态栏扩展（火狐插件扩展开发教程）》

这次的扩展我实现的功能是通过新浪开放接口获取当前IP对应的地址信息，并显示在右下角的状态栏上。刚开始的配置如下：

1. 在任意一个文件夹创建一个文件夹，命名hcip。
2. 在hcip文件夹下面创建一个文件夹，命名chrome。
3. 在hcip文件夹下面创建两个文件，分别为install.rdf、chrome.manifest
4. 在chrome文件夹下面创建一个文件夹，命名为content。
5. 在content文件夹下面创建一个文件，命名为hcip.xul。
6. 在content文件夹下面创建一个文件，命名为hcip.js。
7. 还是那句话，每个文件要为utf-8格式，以免有中文出错。

最后得到：

二、配置install.rdf文件

不多做解释啦，内容如下：

 

三、配置chrome.manifest文件

content hcip chrome/content/

# Firefox
overlay    chrome://browser/content/browser.xul chrome://hcip/content/hcip.xul

四、配置hcip.xul文件

<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE overlay >
<overlay id="stockwatcher-overlay"
  xmlns="http://www.mozilla.org/keymaster/gatekeeper/there.is.only.xul">

<!-- 引用我自己写的js文件，用来实现远程获取IP信息的功能 -->
<script type="application/x-javascript"
  src="chrome://hcip/content/hcip.js"/>

<!-- Firefox -->
<statusbar id="status-bar">
    <statusbarpanel id="hcip"
        label="点我获取地址"
        tooltiptext=""
        onclick="HCIP.getdz()"
    />
</statusbar>

</overlay>

五、配置hcip.js文件

var HCIP = {
    startup: function()
    {
        this.getdz();
    },
    
    getdz: function()
    {
        var samplePanel = document.getElementById('hcip');
        samplePanel.label = "加载中，稍等......";
        
        var httpRequest = null;
        var fullUrl = "http://int.dpool.sina.com.cn/iplookup/iplookup.php?format=js";

        function infoReceived()
        {
            var samplePanel = document.getElementById('hcip');
            eval( httpRequest.responseText );
            
            //获取地址信息
            var dz = remote_ip_info.country + " > " + remote_ip_info.province + " > " + remote_ip_info.city;
            
            //显示在状态栏上面
            samplePanel.label = dz;
            samplePanel.tooltipText = dz;
        }
        
        httpRequest = new XMLHttpRequest();
        //从新浪那边获取IP信息
        httpRequest.open("GET", fullUrl, true);
        
        //获取成功了，调用infoReceived方法
        httpRequest.onload = infoReceived;
        httpRequest.send(null);
    }
}

// 初始化
window.addEventListener("load", function(e) { HCIP.startup(); }, false);

六、打包程序、安装运行

1. 返回到hcip文件夹，全选所有文件，然后压缩成ZIP格式。
2. 修改hcip.zip的后缀名为xpi，最后得到hcip.xpi文件。
3. 把hcip.xpi文件拖拽到火狐浏览器中，出现提示安装的界面，点击安装，然后重启火狐。
4. 看火狐右下角的状态栏，就有地址信息了。

案例下载点后面的文件》》firefox-hcip.zip