一.理论准备
这两天看到了图论的二部图，闲着没事就水了一道。
先看增广路的定义：增广路，也称增广轨或交错轨：
若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。由增广路的定义可以推出下述三个结论：
- P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。
- 不断寻找增广路可以得到一个更大的匹配M’，直到找不到更多的增广路，M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。
- 最大匹配数M+最大独立数N=总的结点数，增广路主要应用于匈牙利算法中，用于求二分图最大匹配。
无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。
二分图匹配可用匈牙利算法，离散中学过，就是找一条交替链，让路径的起点和终点都是还没有匹配过的点，路径经过的连线是一条没被匹配、一条已经匹配过，再下一条又没匹配这样交替地出现，显然路径里没被匹配的连线比已经匹配了的连线多一条，于是修改匹配图，把路径里所有匹配过的连线去掉匹配关系，把没有匹配的连线变成匹配的，这样匹配数就比原来多1个。不断执行上述操作，直到找不到这样的路径为止。
二.算法实现
以POJ1274为例直接去AC吧。
import java.util.Arrays;import java.util.Scanner;public class POJ1274 {/** 题意： n牛，m个房子，每个牛都只住在自己想住的房子里面，* 一个房子只能住一个牛，问最多可以安排多少头牛入住*/static boolean map[][];static boolean vis[];//记录匹配点号static int path[];static int m,n;public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);while(sc.hasNext()) {n = sc.nextInt();//n牛m = sc.nextInt();//m屋map = new boolean[n][m];int num;for(int i=0; i<n; i++) {num = sc.nextInt();for(int j=0; j<num; j++) {int k = sc.nextInt();map[i][k-1] = true;}}int cnt = 0;/** 表示牛棚和哪个牛配对*/path = new int[m];/** 由于牛编号从0开始，所以不能初始化为0* wa了几次*/Arrays.fill(path,-1);vis = new boolean[m];for(int i=0; i<n; i++) {Arrays.fill(vis,false);if(find(i)) {cnt++;}}System.out.println(cnt);}sc.close();}private static boolean find(int s) {for(int i=0; i<m; i++) {if(map[s][i] && vis[i]==false) {vis[i] = true;/** /如果i未在前一个匹配M中 || i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路*/if(path[i]==-1 || find(path[i])) {path[i] = s;return true;}}}return false;}}
作者：张朋飞
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