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  • 计算1至n中数字X出现的次数

    计算1至n中数字X出现的次数

    描述

    计算 1 至 n 中数字 X 出现的次数,其中 n1,X[0,9]

    解题思路

    这是一道比较简单的题目,举个例子先:假设 n=11,X=1,那么就是求 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 这 11 个数字中 1 出现的次数,很容易能看出来结果为 4,在 1 和 10 中各出现了一次,在 11 中出现了两次。

    最简单的办法就是依次遍历 1 至 n,再分别求每个数字中 X 出现的次数,代码如下所示:

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    #include <stdio.h>
     
    // 计算数字 X 在 n 中出现的次数。
    int countOne(int n, int x) {
        int cnt = 0;
        for (;n > 0;n /= 10) {
            if (n % 10 == x) {
                cnt++;
            }
        }
        return cnt;
    }
    // 计算数字 X 在 1-n 中出现的次数。
    int count(int n, int x) {
        int cnt = 0;
        for (int i = 1;i <= n;i++) {
            cnt += countOne(i, x);
        }
        return cnt;
    }
    int main() {
        printf("%d ", count(237, 1));
    }

    这个方法的缺点是时间复杂度太高,countOne 方法的时间复杂度是 O(log10n),count 方法的时间复杂度是 O(nlog10n)

    一个更好的办法是利用数学公式直接计算出最终的结果,该方法是依次求出数字 X 在个位、十位、百位等等出现的次数,再相加得到最终结果。这里的 X[1,9],因为 X=0 不符合下列规律,需要单独计算。

    首先要知道以下的规律:

    • 从 1 至 10,在它们的个位数中,任意的 X 都出现了 1 次。
    • 从 1 至 100,在它们的十位数中,任意的 X 都出现了 10 次。
    • 从 1 至 1000,在它们的千位数中,任意的 X 都出现了 100 次。

    依此类推,从 1 至 10i,在它们的左数第二位(右数第 i 位)中,任意的 X 都出现了 10i1 次。

    这个规律很容易验证,这里不再多做说明。

    接下来以 n=2593,X=5 为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中,数字 5 总计出现了 813 次,其中有 259 次出现在个位,260 次出现在十位,294 次出现在百位,0 次出现在千位。

    现在依次分析这些数据,首先是个位。从 1 至 2590 中,包含了 259 个 10,因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593,因为它们最大的个位数字 3 < X,因此不会包含任何 5。

    然后是十位。从 1 至 2500 中,包含了 25 个 100,因此任意的 X 都出现了 25×10=250 次。剩下的数字是从 2501 至 2593,它们最大的十位数字 9 > X,因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。

    接下来是百位。从 1 至 2000 中,包含了 2 个 1000,因此任意的 X 都出现了 2×100=200 次。剩下的数字是从 2001 至 2593,它们最大的百位数字 5 == X,这时情况就略微复杂,它们的百位肯定是包含 5 的,但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来,是从 2500 至 2593,数字的个数与百位和十位数字相关,是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。

    最后是千位。现在已经没有更高位,因此直接看最大的千位数字 2 < X,所以不会包含任何 5。到此为止,已经计算出全部数字 5 的出现次数。

    总结一下以上的算法,可以看到,当计算右数第 i 位包含的 X 的个数时:

    1. 取第 i 位左边(高位)的数字,乘以 10i1,得到基础值 a
    2. 取第 i 位数字,计算修正值
      1. 如果大于 X,则结果为 a+10i1
      2. 如果小于 X,则结果为 a
      3. 如果等 X,则取第 i 位右边(低位)数字,设为 b,最后结果为 a+b+1

    相应的代码非常简单,效率也非常高,时间复杂度只有 O(log10n)

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    // 计算数字 X 在 1-n 中出现的次数。
    int count(int n, int x) {
        int cnt = 0, k;
        for (int i = 1;k = n / i;i *= 10) {
            // k / 10 为高位的数字。
            cnt += (k / 10) * i;
            // 当前位的数字。
            int cur = k % 10;
            if (cur > x) {
                cnt += i;
            } else if (cur == x) {
                // n - k * i 为低位的数字。
                cnt += n - k * i + 1;
            }
        }
        return cnt;
    }

    当 X = 0 时,规律与上面给出的规律不同,需要另行考虑。

    最主要的区别是,最高位中永远是不会包含 0 的,因此,从个位累加到左起第二位就要结束,需要将上面代码中 for 循环的判断条件改为 k / 10 != 0。

    其次是,第 i 位的基础值不是高位数字乘以 10i1,而是乘以 10i11。以 1 至 102 为例,千位中实际包含 3 个 0,但这三个 0 是来自于个位 2 计算得到的修正值,而非来自于基础值。千位的基础值是 0,因为不存在数字 01, 02, 03, ..., 09,即数字前是没有前导 0 的。解决办法就是将上面代码中第 6 行改为 cnt += (k / 10 - 1) * i。

    经过综合与化简,得到了以下代码:

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    // 计算数字 0 在 1-n 中出现的次数。
    int countZero(int n) {
        int cnt = 0, k;
        // k / 10 为高位的数字。
        for (int i = 1;(k = n / i) / 10;i *= 10) {
            cnt += (k / 10) * i;
            // k % 10 为当前位的数字。
            if (k % 10 == 0) {
                // n - k * i 为低位的数字。
                cnt += n - k * i + 1 - i;
            }
        }
        return cnt;
    }

    主要是将一些步骤进行了合并,令代码比较简练。

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