1 - 函数、极限、连续（1）
(间断点、左右极限) 当 |x| < 1 时， ;当 |x| > 1 时，
。
(函数有界性判定) 设f(x)在开区间(a,b)内连续，若及
存在，则f(x)在(a,b)内有界。
例题 讨论函数
在
上的有界性。
由
及
可知f(x) = f(-x)，所以f(x)是偶函数。只需证明f(x)在
上有界。又
于是，对于
（可以为任意正数但必须确定下来），存在A>0，当x>A时，有
。
即当x>A时，有0<f(x)<1。
因为f(x)在[0,A]上连续，因此f(x)在[0,A]有界，注意到在
。故，存在M1>0，使得任意
有
。取M = max{1,M1}则对任意
有
。从而可知：对任意
有
注意：
1、要判断函数的有界性先考虑在间断点、无穷远点的极限（涉及左右极限）；
2、不用求导数、单调性之类，这两步已经证明了有界性。
(周期函数) 设f(x)是以T为周期的连续函数则：
1、f(x)的原函数是以T为周期的充要条件是
；
2、任意，
；
3、。
(求极限)
解：原式 = =
=
注意：这里运用了等价无穷小 x-1 ~ ln(x-1+1) 其实是 x ~ ln(x+1) 的变体
用到的无穷小：1、当 ，得到
；2、arctanx ~ x；3、1-cosx ~
；4、
。
(函数的导数)(不一定用得着) 若 存在，且
则
(两个重要的极限) ；
(单侧极限) 若在求极限时，涉及 、
、
、绝对值，要考虑单侧极限。
(和差中的等价无穷小替换) 若当 o（代表一个值） 时，
~
、
~
，则只有当
时，才能用
，这是因为将
用
替代后产生的误差大小只能用泰勒公式才能说清楚。
(求极限)
解：令 ，原式 =
=
=
=
=
注意：在用常见方法（四则运算、重要极限、等价无穷小替换）不能求解极限时，变量替换是行之有效的方法（尤其是倒代换）（观察趋近的数一般由无穷大变到0）
(积分求导)
1、
；
2、。
(数学归纳法证明极限存在) 设 、
，证明
存在，并求值。
解： ，设
，则
。由数学归纳法得知数列
有下界，又
，因而
单调递减，由单调有界原理
存在且为3。
注意：此题也可由 为下界，再证
即可得到
。
(求极限数列)(判别级数)
解：考虑级数 ，用比值判别法
，所以
收敛，所以
注意：利用级数收敛的必要条件，可求一些级数为0的数列极限。
(无穷小) 当 时， g(x) 是 (x-a) 的n阶无穷小，当
时，f(u)是 u 的m阶无穷小，则 f[g(x)] 是 (x-a) 的nm阶无穷小。
(求极限)
解： =
=
(拉格朗日中值定理，
)
所以 =
注意：求形如 I = 的极限，可用拉格朗日中值定理，转化为
的式子
(积分公式)
1、；
2、；
3、；
4、；（这个比较重要）
5、。
(微分方程导数定义) 设g(x)是微分方程g'(x) + g(x)sinx = cosx 满足g(0) = 0，求
解：由题，又g'(0) = cos0-g(0)sin0 = 1
本题也可先解微粉方程在求极限。