HDU 4652 Dice：期望dp（成环）【错位相减】

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4652

题意：

　　给你一个有m个面的骰子。

　　两种询问：

　　　　（1）"0 m n": “最后n次点数均相同”的投掷次数期望。

　　　　（2）"1 m n": “最后n次点数各不相同”的投掷次数期望。

 

题解：

　　表示状态：

　　　　dp[i] = expectation　（当前已经有i个点数相同/不相同）

 

　　找出答案：

　　　　ans = dp[0]

 

　　如何转移：

　　一、都相同

　　　　（1）dp[i] = dp[i+1]/m + dp[1]*(1-1/m) + 1　（要么与前面相同，要么不同）

　　　　（2）dp[i+1] = dp[i+2]/m + dp[1]*(1-1/m) + 1　（为了错位相减消去后面的dp[1]，令i = i+1）

　　　　（1）-（2）得：

　　　　　　dp[i] - dp[i+1] = (dp[i+1] - dp[i+2])/m

　　　　设d[i] = dp[i] - dp[i+1]，有d[i+1]= dp[i]*m　（d[i]可递推）

　　　　则：dp[0] - dp[n] = sigma(d[0 to n-1])　（前后两项相消）

　　　　又因为：dp[n] = 0

　　　　所以：dp[0] = sigma(d[0 to n-1])，枚举求和即可。

 

　　二、都不同

　　　　（1）dp[i] = dp[i+1]*(m-i)/m + dp[i]/m + dp[i-1]/m +...+ dp[1]/m + 1　（要么与之前均不同，要么与第n,n-1,n-2...1位相同）

　　　　（2）dp[i+1] = dp[i+2]*(m-i-1)/m + dp[i+1]/m + dp[i]/m +...+ dp[1]/m + 1　（令i = i+1，错位相减）

　　　　（1）-（2）得：

　　　　　　dp[i] - dp[i+1] = (dp[i+1] - dp[i+2])*(m-i-1)/m

　　　　设d[i] = dp[i] - dp[i+1]，有d[i+1]= dp[i]*m/(m-i-1)　（d[i]可递推）

　　　　则：dp[0] - dp[n] = sigma(d[0 to n-1])

　　　　同一中：dp[0] = sigma(d[0 to n-1]) 即为答案。

 

AC Code:

// PROB 1: is the same
//
// state expresssion:
// dp[i] = expectation
// i: the same numbers
//
// find the answer:
// ans = dp[1] + 1
//
// transferring:
// dp[i] = dp[i+1]/m + dp[1]*(1-1/m) + 1
// dp[i+1] = dp[i+2]/m + dp[1]*(1-1/m) + 1
// dp[i] - dp[i+1] = dp[i+1]/m - dp[i+2]/m
// dp[i] - dp[i+1] = (dp[i+1] - dp[i+2])/m
// dp[i+1] - dp[i+2] = (dp[i] - dp[i+1])*m
// d[0] = dp[0] - dp[1] = 1
// dp[0] + dp[n] = sigma(d[0 to n-1])
// dp[0] = sigma(d[0 to n-1])
//
//
// PROB 2: is different
//
// state expression:
// dp[i] = expectation
// i: different numbers
//
// find the answer:
// ans = dp[1] + 1
//
// transferring:
// dp[i] = dp[i+1]*(m-i)/m + dp[i]/m + dp[i-1]/m +...+ dp[1]/m + 1
// dp[i+1] = dp[i+2]*(m-i-1)/m + dp[i+1]/m + dp[i]/m +...+ dp[2]/m + dp[1]/m + 1
// dp[i] - dp[i+1] = dp[i+1]*(m-i)/m - dp[i+2]*(m-i-1)/m - dp[i+1]/m
// dp[i] - dp[i+1] = (dp[i+1] - dp[i+2])*(m-i-1)/m
// dp[i+1] - dp[i+2] = (dp[i] - dp[i+1])*m/(m-i-1)
// d[0] = dp[0] - dp[1] = 1
// dp[0] + dp[n] = sigma(d[0 to n-1])
// dp[0] = sigma(d[0 to n-1])
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 1000005

using namespace std;

int n,m,p,t;
double ans;
double dp[MAX_N];

void read()
{
    cin>>p>>m>>n;
}

void cal_dp_same()
{
    // dp[i+1] - dp[i+2] = (dp[i] - dp[i+1])*m
    // dp[0] = sigma(d[0 to n-1])
    double d=1;
    ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        ans+=d;
        d*=m;
    }
}

void cal_dp_dif()
{
    // dp[i+1] - dp[i+2] = (dp[i] - dp[i+1])*m/(m-i-1)
    // dp[0] = sigma(d[0 to n-1])
    double d=1;
    ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        ans+=d;
        d*=m/(m-i-1.0);
    }
}

void solve()
{
    if(p==0) cal_dp_same();
    else cal_dp_dif();
}

void print()
{
    printf("%.9f
",ans);
}

int main()
{
    while(cin>>t)
    {
        while(t--)
        {
            read();
            solve();
            print();
        }
    }
}

dp[i] = dp[i+1]*(m-i)/m + dp[i]/m + dp[i-1]/m +...+ dp[1]/m + 1