HDU 4055 Number String：前缀和优化dp【增长趋势——处理重复选数】

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4055

题意：

　　给你一个由'I', 'D', '?'组成的字符串，长度为n，代表了一个1~n+1的排列中（数字不重复），相邻数字的增长趋势。（'I'为增，'D'为减，'?'为未知）

　　问你符合条件的数列有多少种。

题解：

　　表示状态：

　　　　dp[i][j] = combinations

　　　　表示长度为i的排列（由1~i组成），末尾为j，这样的排列的个数

　　找出答案：

　　　　ans = ∑ dp[n][1 to n]

　　如何转移：

　　　　先考虑增长('I')。

　　　　对于dp[i][j]，是由dp[i-1][k with k < j]在末尾添加一个j得到的。

　　　　也就是：

　　　　　　dp[i][j] = ∑ dp[i-1][1 to j-1]

　　　　可是在dp[i-1][k with k < j]的数列中，由可能j已经选过。

　　　　为了处理这种情况，可以想成将原来数列中 >= j的数都+1。

　　　　这样并不影响原数列的增长性，也不影响答案。

　　　　对于'D'和'?'同理：

　　　　　　D: dp[i][j] = ∑ dp[i-1][j to i-1]

　　　　　　?: dp[i][j] = ∑ dp[i-1][1 to i-1]

AC Code:

// state expression:
// dp[i][j] = combinations
// i: considering ith num
// j: last num
//
// find the answer:
// sigma dp[n][1 to n]
//
// transferring:
// if increase
// dp[i][j] = sigma dp[i-1][1 to j-1]
// if decrease
// dp[i][j] = sigma dp[i-1][j+1 to i-1]
//
// boundary:
// dp[1][1] = 1
// others = 0
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 1005
#define MOD 1000000007

using namespace std;

int n;
int ans;
int dp[MAX_N][MAX_N];
int sum[MAX_N][MAX_N];
string s;

int cal_mod(int a)
{
    return (a%MOD+MOD)%MOD;
}

int cal_sum(int i,int x,int y)
{
    if(x>y) return 0;
    if(x==0) return sum[i][y];
    return cal_mod(sum[i][y]-sum[i][x-1]);
}

void update_sum(int i,int j,int a)
{
    if(j==0) sum[i][j]=cal_mod(a);
    else sum[i][j]=cal_mod(sum[i][j-1]+a);
}

void solve()
{
    n=s.size()+1;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    dp[1][1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[1][i]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            if(s[i-2]=='I') dp[i][j]=cal_sum(i-1,1,j-1);
            else if(s[i-2]=='D') dp[i][j]=cal_sum(i-1,j,i-1);
            else dp[i][j]=cal_sum(i-1,1,i-1);
            update_sum(i,j,dp[i][j]);
        }
    }
    ans=cal_sum(n,1,n);
}

void print()
{
    cout<<ans<<endl;
}

int main()
{
    while(cin>>s)
    {
        solve();
        print();
    }
}