Codeforces 402D Upgrading Array：贪心 + 数学

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/402/D

题意：

　　给你一个长度为n的数列a[i]，又给出了m个“坏质数”b[i]。

　　定义函数f(s)，其中p是s的最小质因子:

　　　　f(1) = 0

　　　　f(s) = f(s/p) + 1 （p不是坏质数）

　　　　f(s) = f(s/p) - 1 （p是坏质数）

　　你可以任意次数地进行操作：给a[1 to i]的每个数都除以gcd(a[1 to i])。

　　问你 ∑ f(a[i)最大为多少。

题解：

　　函数f(s)的实际意义是：

　　　　s的质因子中，好质数的个数 - 坏质数的个数。

　　每一次操作的实际意义是：

　　　　对于所选前缀中的每个数，从它的质因子中丢掉若干个好质数和坏质数。

　　显然，要想使 ∑ f(a[i)更大，则：

　　　　对于每次操作，当且仅当丢掉的坏质数的个数大于丢掉好质数的个数时，才会执行操作。

　　然后考虑操作顺序所带来的影响：

　　　　假设有i < j。

　　　　如果先执行操作opt(1 to i)，再执行操作opt(1 to j)：

　　　　　　由于第一次操作已经使得gcd(a[1 to i])变为1，并且区间[1,j]包含着[1,i]。

　　　　　　所以此时gcd(a[1 to j]) = 1，即第二次操作是无效的。

　　　　　　也就是说，a[i+1 to j]中的一些数，本身可以对答案做出贡献，却因为第一次操作而失效。

　　　　如果先执行操作opt(1 to j)，再执行操作opt(1 to i)：

　　　　　　因为第一次操作已经将a[i+1 to j]中可以除掉的坏质数全部除掉，并将a[1 to i]中的一部分坏质数除掉。

　　　　　　所以在第二次操作时，只要将a[1 to i]中剩下的坏质数除掉即可，不会有任何浪费。

　　所以从后往前贪心地操作就好啦。

　　复杂度分析：

　　　　（1）预处理出前缀gcd[i]：

　　　　　　O(n*logn)

　　　　（2）处理出所有操作完成后的数列a[i]（要分解质因数）：

　　　　　　O(n*sqrt(n))

　　　　（3）算出所有的f(a[i])（还要分解质因数）：

　　　　　　O(n*sqrt(n))

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <set>
#define MAX_N 5005

using namespace std;

int n,m;
int a[MAX_N];
int g[MAX_N];
set<int> st;

void read()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    int x;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>x;
        st.insert(x);
    }
}

int gcd(int a,int b)
{
    return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}

void cal_g()
{
    g[1]=a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        g[i]=gcd(g[i-1],a[i]);
    }
}

pair<int,int> cal_p(int x)
{
    int good=0;
    int bad=0;
    for(int i=2,t=sqrt(x);i<=t;i++)
    {
        int cnt=0;
        while(x%i==0)
        {
            x/=i;
            cnt++;
        }
        if(cnt)
        {
            if(st.count(i)>0) bad+=cnt;
            else good+=cnt;
        }
    }
    if(x!=1)
    {
        if(st.count(x)>0) bad++;
        else good++;
    }
    return pair<int,int>(good,bad);
}

bool check(int x)
{
    pair<int,int> p=cal_p(x);
    return p.first<p.second;
}

void cal_a()
{
    int d=1;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        if(check(g[i]/d)) d=g[i];
        a[i]/=d;
    }
}

int cal_f()
{
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        pair<int,int> p=cal_p(a[i]);
        ans+=p.first-p.second;
    }
    return ans;
}

void work()
{
    cal_g();
    cal_a();
    cout<<cal_f()<<endl;
}

int main()
{
    read();
    work();
}