Codeforces 479E Riding in a Lift：前缀和/差分优化dp

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/479/E

题意：

　　有一栋n层的房子。

　　还有一个无聊的人在玩电梯，每次玩电梯都会从某一层坐到另外一层。

　　他初始在a层，然后要玩k次电梯。

　　这栋楼里还有一个神秘实验室，在b层。

　　这让他每次坐电梯受到了限制：

　　　　当前在x层，然后要坐到y层，则必须满足|x-y|<|x-b|

　　问你共有多少种坐电梯的方案。

题解：

　　表示状态：

　　　　dp[i][j] = numbers

　　　　表示当前在第i层，已经坐了j次电梯，此时的方案数。

　　找出答案：

　　　　ans = ∑ dp[i][k]

　　如何转移：

　　　　若当前在第i层，则移动距离最大为r = |i-b|-1

　　　　dp[i-r to i-1][j+1] += dp[i][j]

　　　　dp[i+1 to i+r][j+1] += dp[i][j]

　　　　注意判断越界。

　　边界条件：

　　　　set dp = 0

　　　　dp[a][0] = 1

　　前缀和/差分优化：

　　　　如果直接去做的话，枚举状态要O(N^2)，转移要O(N)，总复杂度O(N^3)明显超了。

　　　　所以考虑将转移变成O(1)的。

　　　　因为转移是给一段区间加上同一个值，所以可以用差分去做，转移完之后在求一边前缀和就变成了原值。

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 5005
#define MAX_K 5005
#define MOD 1000000007

using namespace std;

int n,a,b,k;
int dp[MAX_N][MAX_K];

inline int abs(int x)
{
    return x>0 ? x : -x;
}

inline int mod(int x)
{
    return (x%MOD+MOD)%MOD;
}

void sec(int x,int y,int v,int id)
{
    if(x>y || y<=0 || x>n) return;
    x=max(x,1); x=min(x,n);
    y=max(y,1); y=min(y,n);
    dp[x][id]=mod(dp[x][id]+v);
    dp[y+1][id]=mod(dp[y+1][id]-v);
}

int main()
{
    cin>>n>>a>>b>>k;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[a][0]=1;
    for(int j=0;j<k;j++)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int r=abs(i-b)-1;
            sec(i-r,i-1,dp[i][j],j+1);
            sec(i+1,i+r,dp[i][j],j+1);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            dp[i][j+1]=mod(dp[i][j+1]+dp[i-1][j+1]);
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=mod(ans+dp[i][k]);
    cout<<ans<<endl;
}