BZOJ 2111 [ZJOI2010]Perm 排列计数：Tree dp + Lucas定理

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2111

题意：

　　给定n,p，问你有多少个1到n的排列P，对于任意整数i∈[2,n]满足P[i]>P[i/2]。

　　保证p为质数，输出答案 mod p的值。(n <= 10^6, p <= 10^9)

题解：

　　对于每个i，分别向i*2和i*2+1连一条边。

　　可以发现，最终形成的是一棵以1为根节点的二叉树。

　　题目中P[i]>P[i/2]的条件，就变成了：P[fa]<P[son]

　　然后就可以dp了。

　　表示状态：

　　　　dp[i]表示对于i的子树来说，填入1到siz[i]这些数，并且满足条件的方案数。

　　找出答案：

　　　　ans = dp[1]

　　如何转移：

　　　　对于i的子树来说，显然节点i只能填1。

　　　　所以首先考虑的就是将2到siz[i]这些数分配给两个子树的方案数。

　　　　设l = i*2, r = i*2+1，则方案数显然为C(siz[i]-1, siz[l])。

　　　　所以dp[i] = C(siz[i]-1, siz[l]) * dp[l] * dp[r]

　　边界条件：

　　　　dp[leaf] = siz[leaf] = 1

　　因为dp转移中要求组合数：C(n,m) = fact[n] * inv(fact[m]) * inv(fact[n-m])

　　然而给定的p可能很小，以至于与要求逆元的数不互质。

　　所以要用到Lucas定理求组合数：C(n,m)%p = C(n%p,m%p) * lucas(n/p,m/p) % p

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 1000005
#define int ll

using namespace std;

typedef long long ll;

int n,p;
int f[MAX_N];
int dp[MAX_N];
int siz[MAX_N];

void cal_f()
{
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]*i%p;
}

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
}

int inv(int a)
{
    int x,y;
    exgcd(a,p,x,y);
    return (x%p+p)%p;
}

int c(int n,int m)
{
    if(n<m) return 0;
    return f[n]*inv(f[m])%p*inv(f[n-m])%p;
}

int lucas(int n,int m)
{
    if(m==0) return 1;
    return c(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p)%p;
}

void dfs(int x)
{
    dp[x]=siz[x]=1;
    int l=(x<<1),r=((x<<1)|1);
    if(l<=n) dfs(l),siz[x]+=siz[l],dp[x]=dp[x]*dp[l]%p;
    if(r<=n) dfs(r),siz[x]+=siz[r],dp[x]=dp[x]*dp[r]%p;
    if(l<=n) dp[x]=dp[x]*lucas(siz[x]-1,siz[l])%p;
}

signed main()
{
    cin>>n>>p;
    cal_f();
    dfs(1);
    cout<<dp[1]<<endl;
}