最长上升子序列及相关问题（附例题）

最长上升子序列的的相关定义、解释参考这篇博客，写的真的很棒：传送门

用里边的话来说，就是你把数据拆分成N组数据，如果是第一组，我总能在后面的组中找到一个P大于第一组的所有数据。以此类推，不管你多少组，我总能在它的下一组数据中找到一个比它大的。要是这个N最小，其实这个N就是最长上升子序列！

最长上升子序列有两种解法：

第一种：复杂度O(n^2)，有时候会超时，比较少用，一搬都是都是用O(logn * n)的解法，这个解法我都有点生疏了

nums数组就是初始的数组！

递推公式：num[i] = *max_element(num , num + i) +1 ;

第一个for循环：走nums数组，记录当前到达的位置！

第二个for循环：再走一遍num数组，找到最大的，然后+1

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) { 
        if(nums.size()==0)
            return 0;
        vector<int> num;
        for(int i = 0 ; i < nums.size() ; i++){
            int text = 1 ;
            for(int j = 0 ; j < i ; j++){
                if(nums[j] < nums[i]){
                    text = max(text,num[j]+1);
                }
            }
            num.push_back(text);
        }
        int len = num.size();
        return *max_element(num.begin(),num.end()); // 返回num数组中最大的数，也就是最长的上升子序列
    }

 第二种：运用二分，构造一个pos数组，用来存储当前长度下的最长递增子序列的长度

注意：这里的pos数是有序的，从小到大！

所以可以用二分查找

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int a ;
    cin>>a;
    int nums[50005];
    for(int i = 0; i < a ; i++)
        cin>>nums[i];
    int pos[50005];
    
    int k = 0;
    pos[k++] = nums[0]; /// 把第一个装进去
    for(int i = 1 ; i < a ; i++){
        if(nums[i] > pos[k-1]) // 如果大于pos数组最末尾的哪一个数，就直接装进去
            pos[k++] = nums[i];
        else{/// 否则是用一个二分查找，找到第一个大于等于的数，然后用nums[i]替换掉,这样子就是再维护一个最长的上升序了
            int len = lower_bound(pos,pos+k, nums[i])-pos;
            pos[len] = nums[i];
        }
    }
    cout<<k<<endl;
    return 0;
}

关于lower_bound和upper_bound()用法

多刷点题就理解 了

例题1：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/911/G

例题2：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/5733/M（变形，题目还是不错的）

例题3：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/（模板题）

例题4：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5489（变形，挺不错的）

一类的题：

例题5：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1257（模板题）

例题6：https://pintia.cn/problem-sets/994805046380707840/problems/994805063166312448

例题7：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/23654