餐巾计划问题

题目描述

题解：

网络流二十三题中比较有意思的一道题。

正常能想到的建图方法是：

1.拆点，将每一天拆成早上和晚上；

2.早上向晚上连边，容量为当天所需餐巾数；

3.今天晚上向明天晚上连边，容量为正无穷；

4.$S$向早上连边，容量正无穷，费用为买餐巾费用；

5.每天晚上向慢洗后的那一天早上连边，容量正无穷，费用为慢洗费用；

6.每天晚上向快洗后的那一天早上连边，容量正无穷，费用为快洗费用；

7.每天晚上向$T$连边，容量正无穷。

然后，

突然发现不知道怎么求。

由于流量守恒定理：

流不会凭空产生，也不会凭空消失，它只会从源点流向汇点。

我们发现，用过的餐巾会直接被扔。

图建错了……

这时我们需要打破僵局，直接干掉早上向晚上的连边，改为：

1.源点向晚上连边，容量为当天餐巾数，费用为$0$，代表此时应有这些餐巾等待处理；

2.早上向汇点连边，容量为当天餐巾数，费用为$0$，代表此时应有这些餐巾等待死亡；

然后最小费用流。得到最小费用即为答案。

代码：

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 4050
#define ll long long
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll  Inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
inline int rd()
{
    int f=1,c=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){c=10*c+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*c;
}
int n,m,S,T,a,b,c,d,hed[N],cnt=-1;
struct EG
{
    int to,nxt;
    ll w,c;
}e[6*N];
void ae(int f,int t,ll w,ll c)
{
    e[++cnt].to = t;
    e[cnt].nxt = hed[f];
    e[cnt].w = w;
    e[cnt].c = c;
    hed[f] = cnt;
}
ll dep[N],fl[N];
int pre[N],fa[N];
bool vis[N];
queue<int>q;
bool spfa()
{
    memset(dep,0x3f,sizeof(dep));
    dep[S]=0,fl[S]=Inf,vis[S]=0;q.push(S);
    while(!q.empty())
    {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for(int j=hed[u];~j;j=e[j].nxt)
        {
            int to = e[j].to;
            if(e[j].w&&dep[to]>dep[u]+e[j].c)
            {
                dep[to] = dep[u]+e[j].c;
                fl[to] = min(fl[u],e[j].w);
                pre[to] = j,fa[to] = u;
                if(!vis[to])
                {
                    vis[to] = 1;
                    q.push(to);
                }
            }
        }
        vis[u] = 0;
    }
    return dep[T]!=Inf;
}
ll mcmf()
{
    ll ret = 0;
    while(spfa())
    {
        ret+=fl[T]*dep[T];
        int u = T;
        while(u!=S)
        {
            e[pre[u]].w-=fl[T];
            e[pre[u]^1].w+=fl[T];
            u = fa[u];
        }
    }
    return ret;
}
int main()
{
    n = rd();
    S=0,T=1;
    memset(hed,-1,sizeof(hed));
    for(int x,i=1;i<=n;i++)
    {
        x = rd();
        ae(S,i<<1|1,x,0);
        ae(i<<1|1,S,0,0);
        ae(i<<1,T,x,0);
        ae(T,i<<1,0,0);
    }
    m = rd(),a = rd(),b = rd(),c = rd(),d = rd();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ae(S,i<<1,Inf,m);
        ae(i<<1,S,0,-m);
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        ae(i<<1|1,(i+1)<<1|1,Inf,0);
        ae((i+1)<<1|1,i<<1|1,0,0);
    }
    for(int i=1;i+a<=n;i++)
    {
        ae(i<<1|1,(i+a)<<1,Inf,b);
        ae((i+a)<<1,i<<1|1,0,-b);
    }
    for(int i=1;i+c<=n;i++)
    {
        ae(i<<1|1,(i+c)<<1,Inf,d);
        ae((i+c)<<1,i<<1|1,0,-d);
    }
    printf("%lld
",mcmf());
    return 0;
}