数字梯形问题

题目描述

题解：

分操作讨论一下。

操作$1$：

两条路径走到同一个点原地爆炸。

由于要求点只能取一次，我们可以将点拆为入点和出点。

1.入点->出点，容量为$1$，费用为点权相反数；

2.上面的出点->下面的入点，容量为$1$，费用为0；

3.$S$->最上面一排入点，最下面一排出点->$T$，处理和$2$操作是一样的。

然后最大费用流。

操作$2$：

两条路径走到一条边上原地爆炸。

由于边只能取一次，点都不用拆。

上面点->下面点，容量为$1$，费用为下面点点权相反数。

然后最大费用流。

巨坑：两条路径可能相交于最下面的点，所以最下面一排->$T$的容量至少为$2$。

操作$3$：

瞎走。只要向下就不原地爆炸。

没啥好说的，上面点->下面点，容量正无穷，费用为下面点点权相反数。

然后最大费用流。

代码：

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 3200
#define ll long long
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll  Inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
inline int rd()
{
    int f=1,c=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){c=10*c+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*c;
}
int n,m,S,T,hed[N],cnt=-1;
int a[45][45];
int _id(int x,int y)
{
    return y+(x*(x-1)/2);
}
struct EG
{
    int to,nxt;
    ll w,c;
}e[60*N];
void ae(int f,int t,ll w,ll c)
{
    e[++cnt].to = t;
    e[cnt].nxt = hed[f];
    e[cnt].w = w;
    e[cnt].c = c;
    hed[f] = cnt;
}
ll dep[N],fl[N];
int pre[N],fa[N];
bool vis[N];
queue<int>q;
bool spfa()
{
    memset(dep,0x3f,sizeof(dep));
    dep[S] = 0,vis[S] = 1,fl[S] = Inf;q.push(S);
    while(!q.empty())
    {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for(int j=hed[u];~j;j=e[j].nxt)
        {
            int to = e[j].to;
            if(e[j].w&&dep[to]>dep[u]+e[j].c)
            {
                dep[to] = dep[u] + e[j].c;
                fl[to] = min(fl[u],e[j].w);
                pre[to] = j,fa[to] = u;
                if(!vis[to])
                {
                    vis[to] = 1;
                    q.push(to);
                }
            }
        }
        vis[u] = 0;
    }
    return dep[T]!=Inf;
}
ll mcmf()
{
    ll ret = 0;
    while(spfa())
    {
        ret+=fl[T]*dep[T];
        int u = T;
        while(u!=S)
        {
            e[pre[u]].w-=fl[T];
            e[pre[u]^1].w+=fl[T];
            u = fa[u];
        }
    }
    return ret;
}
void init()
{
    memset(hed,-1,sizeof(hed));
    cnt = -1,S = 0,T = 3000;
}
void Case1()
{
    init();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x = _id(n,i);
        ae(S,x<<1,1,0);
        ae(x<<1,S,0,0);
    }
    for(int i=n;i<=n+m-1;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            int x = _id(i,j);
            ae(x<<1,x<<1|1,1,-a[i][j]);
            ae(x<<1|1,x<<1,0,a[i][j]);
        }
    for(int i=n;i<n+m-1;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            int x = _id(i,j);
            int y = _id(i+1,j);
            ae(x<<1|1,y<<1,1,0);
            ae(y<<1,x<<1|1,0,0);
            y = _id(i+1,j+1);
            ae(x<<1|1,y<<1,1,0);
            ae(y<<1,x<<1|1,0,0);
        }
    for(int i=1;i<=n+m-1;i++)
    {
        int x = _id(n+m-1,i);
        ae(x<<1|1,T,1,0);
        ae(T,x<<1|1,0,0);
    }
    printf("%lld
",-mcmf());
}
void Case2()
{
    init();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x = _id(n,i);
        ae(S,x,1,-a[n][i]);
        ae(x,S,0,a[n][i]);
    }
    for(int i=n;i<n+m-1;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            int x = _id(i,j);
            int y = _id(i+1,j);
            ae(x,y,1,-a[i+1][j]);
            ae(y,x,0,a[i+1][j]);
            y = _id(i+1,j+1);
            ae(x,y,1,-a[i+1][j+1]);
            ae(y,x,0,a[i+1][j+1]);
        }
    for(int i=1;i<=n+m-1;i++)
    {
        int x = _id(n+m-1,i);
        ae(x,T,Inf,0);
        ae(T,x,0,0);
    }
    printf("%lld
",-mcmf());
}
void Case3()
{
    init();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x = _id(n,i);
        ae(S,x,1,-a[n][i]);
        ae(x,S,0,a[n][i]);
    }
    for(int i=n;i<n+m-1;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            int x = _id(i,j);
            int y = _id(i+1,j);
            ae(x,y,Inf,-a[i+1][j]);
            ae(y,x,0,a[i+1][j]);
            y = _id(i+1,j+1);
            ae(x,y,Inf,-a[i+1][j+1]);
            ae(y,x,0,a[i+1][j+1]);
        }
    for(int i=1;i<=n+m-1;i++)
    {
        int x = _id(n+m-1,i);
        ae(x,T,Inf,0);
        ae(T,x,0,0);
    }
    printf("%lld
",-mcmf());
}
int main()
{
//    freopen("digit1.in","r",stdin);
    n = rd(),m = rd();
    for(int i=n;i<=n+m-1;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            a[i][j] = rd();
    Case1();
    Case2();
    Case3();
    return 0;
}